Primera prueba del lema de Poincaré

Question

Sé que una manera de demostrar el lema de Poincaré es utilizar la invariación de homotopía y contractibility del espacio euclidiano. ¿Existe una manera de hacerlo directamente (sin utilizar el contractibility del $\mathbb{R}^n$)? ¿Cuál fue la primera prueba de esta afirmación? Quiero saber las diferentes maneras de probar este lema. Por favor proporcionar referencias. ¡Gracias!

Answer 1

Queremos mostrar que en $\mathbb R^n$, de todas formas cerradas de grado $p\geq 1$ son exactas. Para ello se construye un operador lineal

$$\alpha:\Omega^p(\mathbb R^n) \rightarrow \Omega^{p-1}(\mathbb R^n) $$

s.t. $$d\alpha+\alpha d=1.$$

Deje $\omega$ ser un cerrado $p$-forma. Entonces, para cualquier $x\in\mathbb R^n$ definimos

$$(\alpha \omega)(x):=\int_0^1 t^{p-1}i_x\omega(tx)dt, $$

donde $i_x$ es el producto en el interior de operador. Entonces (por Cartan la fórmula mágica)

$$\begin{aligned} ((d\alpha + \alpha d)\omega)(x) & = \int_0^1 t^p\mathcal L_x\omega(tx)dt \\ & =(\text{use chain rule and pull-back definition of Lie derivative}) \\ & = \int_0^1\frac{d}{dt}(t^p\omega(tx))dt=\omega(x) \end{aligned} $$

y hemos terminado. El diff. formulario de $\theta:=t(\omega)$ es la forma exacta que necesitamos.

edit: Por la regla de la cadena paso uno quiere considerar el pull-back $M_t^* \omega$ donde $M_t : \mathbb R^n \to \mathbb R^n$ es la multiplicación escalar por $t$. es decir,$t^p \omega(tx) = M_t^* \omega (x)$.

Answer 2

Se describe un funcional lineal $\alpha : \Omega^p \mathbb R^n \to \Omega^{p-1} \mathbb R^n$. El espacio alternando $p$-funciones lineales en $\mathbb R^n$ tiene dimensión $n \choose p$, y se puede escribir en la base como $dx_{i_1} \wedge dx_{i_2} \wedge \cdots \wedge dx_{i_p}$ donde $1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_p \leq n$. Si $I = (i_1, i_2, \cdots, i_p)$ es un multi-índice deje $dx_I = dx_{i_1} \wedge dx_{i_2} \wedge \cdots \wedge dx_{i_p}$. Deje $I_1$ ser la colección de multi-índices de con $i_1=1$ y deje $I_2$ ser la colección de multi-índices de con $i_1 > 1$.

Dado un $p$forma $f dx_I$ $f: \mathbb R^n \to \mathbb R$ definimos $\alpha$ linealmente, por $\alpha (f dx_I) = 0$ si $I \in I_2$. $\alpha (fdx_I) = \left(\int_0^{x_1} f dx_1\right) dx_{i_2} \wedge \cdots \wedge dx_{i_p}$ si $I \in I_1$. Usted puede pensar de $\alpha$ es un tipo de `total de la contracción " de la forma en la coordenada $x_1$-dirección.

Es bastante directo para comprobar que $$ d(\alpha(\omega)) + \alpha(d \omega) = \omega - \pi^*(i^* \omega)$$ para cada $p$forma $\omega$. Aquí $i : \mathbb R^{n-1} \to \mathbb R^n$ es la inclusión $i(x_2,\cdots,x_n) = (0,x_2,\cdots,x_n)$ $\pi : \mathbb R^n \to \mathbb R^{n-1}$ es la proyección de $\pi(x_1,x_2,\cdots,x_n) = (x_2,\cdots,x_n)$.

Así que esta es una menos técnicamente sofisticado argumento de Avitus, pero podría ser un poco más sencillo seguir conceptualmente. En el fin de reducir mostrando un cerrado $p$-forma en $\mathbb R^n$ es exacta para resolver el problema de una menor $n$. Dimensión $p=n$ es el caso base, donde la fórmula anterior se inicia la inducción.