Probar si $f'(x)\geq 1$ y $\exists c$ tal que $f(c)=0$.

Question

Que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser diferenciable en $\mathbb{R}$ $f'(x)\geq 1$ % todo $x\in \mathbb{R}$, entonces existe un $c\in \mathbb{R}$ tal que $f(c)=0$.

Me di cuenta que desde $f'(x)\geq 1$, $f$ es Monótonamente creciente, es decir: $x\leq y\Rightarrow f(x)\leq f(y)$ y también se dio cuenta si $f(x)>0$ % todos $x$o $f(x)<0$ % todo $x$entonces por IVT allí sería $c$ tal que $f(c)=0$. Pero no sé dónde ir a partir de ahí, ni sé cómo ponerla en una prueba razonable. ¿Ayuda?

Answer 1

Que $y=f(x) > 0$. Por el teorema del valor medio, tenemos entonces que existe $c \in (x-y,x)$ que $$f'(c) = \dfrac{f(x)-f(x-y)}{x-(x-y)} \geq 1 \implies f(x) - f(x-y) \geq y \implies f(x-y) \leq f(x)-y = 0$ $ por lo tanto, por Teorema del valor intermedio, existe $z \in [x-y,x]$ tal que $f(z) = 0$.

Argumentan igualmente $y = f(x) < 0$.

Answer 2

Si no hay ningún punto donde $f(x)$ se desvanece entonces, por intermedio valor de la propiedad $f(x)$ mantiene constante la señal para que todos los $x$.

Vamos a empezar con el caso al $f(x) > 0$ todos los $x$. Estamos dado que el$f'(x) \geq 1 > 0$, de modo que $f(x)$ está aumentando y por lo tanto se deduce que $\lim_{x \to -\infty}f(x) = L$ existe y $L \geq 0$. Si $x < 0$ $$f(x) - f(2x) = -xf'(\xi)\tag{1}$$ for some $\xi \(2x, x)$. If we take limit as $x \a\infty$ of above equation we see a simple contradiction. The LHS tends to $L - L = 0$, but since $f'(x) \geq 1$ for all $x$ the RHS tends to $\infty$. It follows that we can't have $f(x) > 0$ for all $x$. Thus there will be some point when $f(x) \leq 0$ and we will thus have a change of sign and $f(x)$ desaparecerían.

Misma manera que podemos argumentar que si asumimos $f(x) < 0$ todos los $x$. En este caso, sin embargo tenemos que considerar los límites al $x \to \infty$.

A partir de la anterior línea de argumento también es claro que el resultado se mantiene incluso si se sustituye la condición de $f'(x) \geq 1$ $|f'(x)| \geq k > 0$ fijos $k$.

En otras palabras, si una función derivable en todas partes mantiene una constante señal de entonces su derivada debe tomar valores arbitrariamente cerca de $0$.