Dada una acción con un término como \begin {equation}S_{I} \sim \int\int ( \psi ^{ \dagger } \psi )V( \psi ^{ \dagger } \psi ) \end {equation} ¿Cómo se evalúa esto con una integral de trayectoria fermiónica? Sé que los campos están valorados por Grassmann, así que eso significa que \begin {equation}e^{-S_{I}}=1-S_{I} \end {ecuación} porque las potencias más altas de $\psi$ y $\psi^{\dagger}$ son cero? La razón por la que estoy confundido es que hay una integral involucrada, por lo que cuando se considera $n$ poderes de la acción, tienes que hacer $n$ integrales sobre $n$ diferentes regiones del espacio-tiempo. (es decir, es $(S_{I})^{n}=0$ para $n>1$ ?)
Respuesta
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Hay que tener en cuenta que hay algunas integrales, lo que implica que $S_I^n\neq 0$ ¡! Por ejemplo
$S_I^2=\int_{x_1,x_2,x_3,x_4} (\psi_1^\dagger\psi_1)V_{12}(\psi_2^\dagger\psi_2)(\psi_3^\dagger\psi_3)V_{34}(\psi_4^\dagger\psi_4)$ ,
donde $\psi_i=\psi(x_i)$ , $V_{ij}=V(x_i,x_j)$ y he supuesto que la interacción es de la forma $S_I=\int_{x_1,x_2}\psi^\dagger(x_1)\psi(x_1)V(x_1,x_2)\psi^\dagger(x_2)\psi(x_2)$ .
Así, para la mayoría de los valores de $x_1,x_2,x_3,x_4$ la integral no es cero (porque los campos de Grassmann toman valores diferentes). Sólo para $x_1=x_2$ etc., verás que se desvanece. Si no fuera así, los fermiones serían realmente triviales...
