¿Hay una fórmula general para $I(m,n)$?

Question

Considere el integral

$$I(m,n):=\int_0^{\infty} \frac{x^m}{x^n+1}\,\mathrm dx$$

$m=0$, Una fórmula general es %#% $ #%

Algunos otros valores son $$I(0,n)=\frac{\frac{\pi}{n}}{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}$$$I(1,3)=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$$ $$I(1,4)=\frac{\pi}{4}$% $ $ $

Natural $I(2,4)=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}$ la integral existe si y sólo si $m,n$.

¿Hay una fórmula general para $n\ge m+2$ % enteros $I(m,n)$y $m,n$?

Answer 1

Podemos utilizar el contorno de integración para llegar al resultado general. Tenga en cuenta que

$$\begin{align} \oint_C \frac{z^m}{z^n+1}\,dz&=2\pi i \text{Res}\left(\frac{z^m}{z^n+1}, z=e^{i\pi/n}\right)\\\\ &=-2\pi i \frac{e^{i\pi(m+1)/n}}{n}\tag 1 \end{align}$$

donde $C$ es el "sector" de contorno compuesto de (i) el real segmento de la línea de $0$ $R$donde $R>1$, (ii) el arco circular de radio $R$ que comienza en $R$ y termina a las $Re^{i2\pi/n}$, e $(3)$ el segmento de línea recta de$Re^{i2\pi/n}$$0$.

Entonces, podemos escribir

$$\oint_C \frac{z^m}{z^n+1}\,dz=\int_0^R \frac{x^m}{x^n+1}\,dx+\int_0^{2\pi/2}\frac{R^me^{im\phi}}{R^ne^{in\phi}+1}\,iRe^{i\phi}\,d\phi-\int_0^R \frac{x^me^{i2\pi m/n}}{x^n+1}e^{i2\pi/n}\,dx \tag 2$$

Si $n>m+1$,$R\to \infty$, la segunda integral en el lado derecho de la $(2)$ desaparece y nos encontramos con que

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\int_0^\infty \frac{x^m}{x^n+1}\,dx=2\pi i\frac{e^{i\pi(m+1)/n}}{n(e^{i2\pi(m+1)/n}-1)}=\frac{\pi/n}{\sin(\pi(m+1)/n)}}$$

Answer 2

Debemos computarlo en dos pasos. En primer lugar, realizar la sustitución $y = x^n$ para obtener

$$I(m,n) = \int \limits _0 ^\infty \frac {y ^{\frac m n}} {1 + y} \frac 1 n y ^{\frac 1 n - 1} \ \Bbb d y = \frac 1 n \int \limits _0 ^\infty \frac {y ^{\frac {m+1} n - 1}} {1 + y} \ \Bbb d y .$$

Ahora realizar el cambio $t = \frac y {1+y}$, para obtener

$$I(m,n) = \frac 1 n \int \limits _0 ^1 \frac {\left( \frac t {1-t} \right) ^{\frac {m+1} n - 1}} {1 + \frac t {1-t}} \frac 1 {(1-t)^2} \ \Bbb d t = \frac 1 n \int \limits _0 ^1 t^{\frac {m+1} n - 1} (1-t)^{- \frac {m+1} n} \ \Bbb d t = \frac 1 n B \left( \frac {m+1} n, 1 - \frac {m+1} n \right) = \frac 1 n \frac \pi {\sin \pi {\frac {m + 1} n}} .$$

En el anterior, $B$ es la función Beta de Euler y he utilizado la conocida fórmula $B(x, 1-x) = \frac \pi {\sin \pi x}$.

Answer 3

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove armada]{{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

La integral diverge al $\ds{n = 0}$. De ahora en adelante, consideramos el caso $\ds{n \not= 0}$:

\begin{align} &\left.\vphantom{\Large A}\mrm{I}\pars{m,n}\right\vert_{\ n\ \not=\ 0} \equiv \int_{0}^{\infty}{x^{m} \over x^{n} + 1}\,\dd x \,\,\,\stackrel{x^{n}\ \mapsto\ x}{=}\,\,\, {1 \over n}\int_{0}^{\infty}{x^{\pars{m + 1}/n - 1} \over x + 1}\,\dd x \\[2mm] &\mbox{Note that the integral converges whenever}\ {m + 1 \over n} - 1 > -1\ \mbox{and}\ {m + 1 \over n} - 1 < 0 \\ &\mbox{which is equivalent to}\ \color{#f00}{0 < {m + 1 \over n} < 1}. \end{align}

---

\begin{align} \left.\vphantom{\Large A}\mrm{I}\pars{m,n}\right\vert_{\ n\ \not=\ 0} & \equiv \int_{0}^{\infty}{x^{m} \over x^{n} + 1}\,\dd x = {1 \over n}\int_{0}^{\infty}x^{\pars{m + 1}/n - 1}\ \overbrace{\int_{0}^{\infty}\expo{-\pars{x + 1}t}\,\dd t} ^{\ds{1 \over x + 1}}\ \,\dd x \\[5mm] & = {1 \over n}\int_{0}^{\infty}\expo{-tx}\int_{0}^{\infty}x^{\pars{m + 1}/n - 1} \expo{-tx}\,\dd x\,\dd t \\[5mm] & \stackrel{tx\ \mapsto\ t}{=}\,\,\, {1 \over n}\ \underbrace{\bracks{\int_{0}^{\infty}\expo{-tx}t^{-\pars{m + 1}/n}\,\dd t}} _{\ds{\Gamma\pars{1 -\,{m + 1 \over n}}}}\ \underbrace{\bracks{\int_{0}^{\infty}x^{\pars{m + 1}/n - 1}\expo{-x}\,\dd x}} _{\ds{\Gamma\pars{m + 1 \over n}}} \\ & \pars{~\mbox{where}\ \Gamma:\ Gamma\ Function~} \\[5mm] & =\ \bbox[#ffe,10px,border:1px dotted navy]{\ds{% {1 \over n}\,{\pi \over \sin\pars{\pi\bracks{m + 1}/n}}}}\qquad \pars{~Euler\ Reflection\ Formula~} \\[1mm] & \mbox{and}\quad \color{#f00}{0 < {m + 1 \over n} < 1\,,\quad n \not= 0} \end{align}