Si $A_n$ es una secuencia de operadores lineales positivos acotados que convergen en norma a $A$ en un espacio de Hilbert, demuestre $\sqrt{A_n}\to\sqrt{A}$ en norma.

Question

Si $A_n$ es una secuencia de operadores lineales positivos acotados que convergen en norma a $A$ en un espacio de Hilbert, demuestre $\sqrt{A_n}\to\sqrt{A}$ en norma. Puedo demostrar que $A$ sería positivo y por tanto tendría raíz cuadrada, pero entonces estoy casi atascado.

Si $A_n=B_n^2$ y $A=B^2$ También he demostrado que $B_n$ es positivo es por definición autoadjunto y por tanto $$\|B_n x\| = \sqrt{\langle B_n x, B_n x \rangle} = \sqrt{\langle A_n x, x\rangle} \to \sqrt{\langle Ax,x\rangle} = \|Bx\|2$$ para todos $x$ y por lo tanto $\|B_n\|\to \|B\|$ . Sin embargo, estoy completamente atascado en el resultado deseado.

Si supiera $B_n$ y $B$ conmutaría, entonces usaría $$\|A_n^2 - A\| = \|(B_n - B)(B_n + B) \|$$ y jugar con el producto interior, pero esto no lo sé a priori.

Gracias por su ayuda.

EDIT: Para aquellos que se lo pregunten esta pregunta viene de Mathematical Physics I: Análisis Funcional por Reed y Simon en el capítulo 7 pregunta 14.

Answer 1

La raíz cuadrada no tiene nada de particular, ya que el resultado es válido para cualquier función continua.

En $A_n\to A$ obtenemos en particular que $\|A_n\|\to\|A\|$ . Esto garantiza que $\sigma(A)\cup\bigcup_n\sigma(A_n)$ está contenido en algún intervalo $[a,b]$ .

Sea $f:[a,b]\to\mathbb R$ sea continua. Utilizando el Teorema Espectral, obtenemos que $\|f(X)\|\leq\|f\|_\infty$ para cualquier $X$ con $\sigma(X)\subset[a,b]$ . Efectivamente, $$ \left|\langle f(X)x,x\rangle\right|=\left|\langle \int_{\sigma(X)}\,f(\lambda)\,dE_X(\lambda)\,x,x\rangle\right|=\left|\int_{\sigma(X)}\,f(\lambda)\,\langle dE_X(\lambda)x,x\rangle \right|\\ \leq\int_{\sigma(X)}\,|f(\lambda)|\,\langle dE_X(\lambda)x,x\rangle\leq\|f\|_\infty\int_{\sigma(X)}\,1\,\langle dE_X(\lambda)x,x\rangle=\|f\|_\infty\,\langle x,x\rangle. $$ (la misma estimación puede obtenerse mediante la transformada de Gelfand si no se desea utilizar el teorema espectral).

Ahora arreglar $\varepsilon>0$ . Sea $p$ sea un polinomio tal que $\|f-p\|_\infty<\varepsilon/3$ (este polinomio existe por Teorema de aproximación de Weierstrass ). En $A_n^k\to A^k$ para todos $k$ existe $n_0$ tal que $\|p(A_n)-p(A)\|<\varepsilon/3$ si $n\geq n_0$ .

Así, para $n\geq n_0$ , $$ \|f(A_n)-f(A)\|\leq\|f(A_n)-p(A_n)\|+\|p(A_n)-p(A)\|+\|p(A)-f(A)\|\\ \leq\|f-p\|_\infty+\frac\varepsilon3+\|p-f\|_\infty<\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3=\varepsilon. $$