Deje que $ \Bbb k$ ser un campo, y dejar $V$ ser una dimensión finita $ \Bbbk $ -espacio vectorial (de dimensión $n$ ). El grupo lineal especial $SL(V)$ se genera mapeos de cizalla . Todos los mapas de cizalla se conjugan en $GL(V)$ de modo que los mapas lineales "conjugados por un mapa de cizalla" se conjugan como endomorfismos de $ \mathrm {End}(V)$ y por lo tanto tienen el mismo determinante. Si probamos que la conjugación por un mapa de cizalla induce un mapa lineal del determinante en $ \mathrm {End}(V)$ entonces de lo que precede vemos que la conjugación por un mapa de determinante también tiene determinante.
Describiré dos caminos para el resultado. El primero es un cálculo directo en una base apropiadamente elegida de $ \mathrm {End}(V)$ . El segundo enfoque es más simple y más formal: utiliza el determinante y el hecho de que el cuadrado de un mapa de cizalla es un mapa de cizalla (o la identidad en la característica $2$ ).
Primera prueba
Deje que $u$ ser un mapa de cizalla. Por definición existe una forma lineal no nula $f:V \to \Bbbk $ y un vector no nulo $h \in H= \ker (f)$ de tal manera que para todos $v \in V$ $$u(v)=v+f(v)h$$ Considere una base $ \mathcal {B}$ de $V$ de la forma $(e_1, \dots ,e_n)=(h_1, \dots ,h_{n-2},h,x)$ donde $h$ es como el anterior, $f(x)=1$ y $(h_1, \dots ,h_{n-2},h)$ es una base de $H$ . Luego $$ \mathrm {Mat}(u; \mathcal {B})= \begin {pmatrix}1 \\ &1 \\ && \ddots\\ &&&1 \\ &&&&1&1 \\ &&&&&1 \end {pmatrix}$$
Considere la base $(E_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}$ de $ \mathrm {End}(V)$ asociado a la base $ \mathcal {B}$ definido sobre la base de los elementos de $$E_{i,j}(e_k)= \begin {cases}k=j:& e_i \\ k \neq j:&0 \end {cases}$$ Luego $u= \mathrm {id}+E_{n-1,n}$ y $u^{-1}= \mathrm {id}-E_{n-1,n}$ para cualquier $i,j$ $$ \begin {array}{rcl} u \circ E_{i,j} \circ u^{-1} &=&( \mathrm {id}+E_{n-1,n})E_{i,j}( \mathrm {id}-E_{n-1,n}) \\ &=&E_{i,j}+E_{n-1,n}E_{i,j}-E_{i,j}E_{n-1,n}-E_{n-1,n}E_{i,j}E_{n-1,n} \\ &=& \begin {cases} i \neq n,j \neq n-1:&E_{i,j} \\ i= n,j \neq n-1:&E_{n,j}+E_{n-1,j} \\ i \neq n,j= n-1:&E_{i,n-1}-E_{i,n} \\ i=n,j=n-1:&E_{n,n-1}+E_{n-1,n-1}-E_{n-1,n}-E_{n,n} \end {cases} \\ &=& \begin {cases} i \neq n,j \neq n-1:&E_{i,j} \\ i= n,j \neq n-1:&E_{i,j}+ \cdots\in X \\ i \neq n,j= n-1:&E_{i,j}+ \cdots\in X \\ i=n,j=n-1:&E_{i,j}+ \cdots\in Y \end {cases} \end {array}$$ donde $X= \mathrm {Vect}(E_{i,j})_{i \neq n,j \neq n-1}$ y $Y= \mathrm {Vect}(E_{i,j})_{(i,j) \neq (n,n-1)}$ de modo que la matriz de conjugación por $u$ cuando se representa en alguna base obtenida al ordenar los vectores $(E_{i,j})_{i \neq n,j \neq n-1} \cup (E_{n,j})_{j \neq n-1} \cup (E_{i,n-1})_{i \neq n} \cup (E_{n,n-1})$ Dentro de cada conjunto de paréntesis hay un triángulo superior con una diagonal hecha de unos.
Segunda prueba
Otra línea de razonamiento es la siguiente: tenemos una acción de grupo lineal $ \rho $ de $SL(V)$ en $ \mathrm {End}(V)$ $$ \rho :SL(V) \to GL( \mathrm {End}(V)), \quad u \mapsto u \circ - \circ u^{-1}$$ Que podemos componer con el determinante $$ \det :GL( \mathrm {End}(V)) \to\Bbbk ^{ \times }$$ Obsérvese que el cuadrado de un mapa de cizalla es un mapa de cizalla (si $ \mathrm {char}( \Bbbk ) \neq 2$ ) o la identidad (si $ \mathrm {char}( \Bbbk )=2$ ) de modo que para cualquier mapeo de cizalla $u$ $$ \det ( \rho (u))^2= \begin {cases} \det ( \rho (u))& \text {if } \mathrm {char}( \Bbbk ) \neq 2 \\ 1 & \text {if } \mathrm {char}( \Bbbk )=2 \end {cases}$$ De modo que, en ambos casos (ya que $1=-1$ en la característica $2$ ) $ \det ( \rho (u))=1$ . El argumento de generación y conjugación desde arriba nos dice entonces que $ \rho $ mapas $SL(V)$ en $SL( \mathrm {End}(V))$ .
