¿Existe un conjunto compacto en $C_0(\mathbb{R})$ (funciones continuas que desaparecen en el infinito) que contiene la esfera unitaria de $C_0^1(\mathbb{R})$ (funciones diferenciables en $C_0(\mathbb{R})$ tal que la derivada también está en $C_0(\mathbb{R})$ )? La norma en el espacio de Banach $C_0^1(\mathbb{R})$ que se define como $\|f\|_1:=\max(\|f\|,\|f'\|)$ .
Respuesta
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Dejemos que $\phi$ una función suave con apoyo en $[0,1]$ y $\phi=1$ en $(1/4,3/4)$ . Considere la secuencia $f_n(x):=\frac{\phi(x+n)}{\lVert \phi\rVert+\lVert \phi'\rVert}$ . Entonces $\{f_n\}$ es una secuencia que se encuentra en la bola unitaria de $C^1_0$ . Pero $\lVert f_m-f_n\rVert_{\infty}=\frac 1{\lVert f\rVert+\lVert f'\rVert}$ , por lo que no podemos encontrar un conjunto compacto $K$ de $C_0(\Bbb R)$ que contiene la bola unitaria de $C^1_0(\Bbb R)$ .
