La función de Schwartz y el espacio de Sobolev $W^{2,p}$

Question

¿Cómo se demuestran las funciones de Schwartz en $\mathbb{R}^n$ son densos en el espacio $W^{2,p}(\mathbb{R}^n)?$

Terrence tao tiene una versión de la prueba de

El espacio $C_c^{\infty}(\mathbb{R}^d)$ de la función de prueba es un subespacio denso de $W^{k,p}(\mathbb{R}^d)$ entonces el hecho $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ es denso en $L^p(\mathbb{R}^d)$ es un corolario de eso. No entiendo su demostración. (Ver lema2)

introduzca aquí la descripción del enlace

Answer 1

El espacio de Schwartz contiene en particular $C^\infty_0(\mathbb R^n)$ y $C^\infty_0(\mathbb R^n)$ es por definición densa en $W^{k,p}_0(\mathbb R^n)$ . Pero tenemos $W^{k,p}_0(\mathbb R^n) = W^{k,p}(\mathbb R^n)$ . Así, el espacio de Schwartz es denso en $W^{k,p}(\mathbb R^n)$ .

El hecho de que $W^{k,p}(\mathbb R^n)= W^{k,p}_0(\mathbb R^n)$ se puede encontrar en el Espacios de Sobolev (Corolario 3.23). Lo que sigue es parte de la demostración del Teorema 3.22 en el libro.

Dejemos que $f : C^\infty_0(\mathbb R^n)$ sea una función suave de modo que $0\le f\le 1$ y

$$f(x) = \begin{cases} 1 & \text{ when }|x|\le 1 \\ 0 & \text{ when }|x|\ge 2, \end{cases}$$

Para cada $\epsilon >0$ , dejemos que $f_\epsilon(x) = f(\epsilon x)$ . Entonces todas las derivadas de $f_\epsilon$ por un límite independiente de $\epsilon <1$ .

Para todos $u\in W^{k,p}(\mathbb R^n)$ Considera que $u_\epsilon = uf_\epsilon$ . Entonces, utilizando la regla del producto, tenemos

$$\|u-u_\epsilon\|_{W^{k,p}(\mathbb R^n)} \le C \|u\|_{W^{k,p}(\Omega_\epsilon)},$$

donde $\Omega_\epsilon = \{x\in \mathbb R^n : |x| \ge 1/\epsilon\}$ . Como $\epsilon\to 0$ el lado derecho converge a $0$ . Así, $u $ puede ser aproximado por elementos $u_\epsilon$ con un soporte compacto. Mediante el uso de mollares, este $u_\epsilon$ puede ser aproximado por elementos en $C^\infty_0(\mathbb R^n)$ . Así, $C^\infty_0(\mathbb R^n)$ es denso en $W^{k,p}(\mathbb R^n)$ .

En general, no es cierto que $W^{k,p}_0(\Omega) = W^{k,p}(\Omega)$ .