Esto está contemplado en la proposición I.1.16 de la página 22 de Lindenstrauss-Tzafriri (en el antiguo Springer Lecture Notes 338 edición):
Que la matriz $A = (\alpha_{i,j})$ representan un operador lineal acotado $T$ de $X$ a $Y$ con bases incondicionales $\{x_i\}$ y $\{y_j\}$ . Entonces el operador diagonal de $A$ (es decir, la matriz $(\delta_{j}^{i} \alpha_{i,j})$ ) también representa un operador lineal acotado $D$ . Si las constantes incondicionales de $\{x_i\}$ y $\{y_j\}$ son $1$ entonces $\Vert D \Vert \leq \Vert T\Vert$ .
Este resultado está ciertamente en las ediciones posteriores de ese libro -entra en varias pruebas posteriores- pero Google no me permite comprobarlo en este momento.
Añadido:
En beneficio de los lectores, permítanme resumir rápidamente las definiciones pertinentes -estoy utilizando la elección de letras un poco incómoda de Lindenstrauss-Tzafriri-:
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Una secuencia $\{x_n\}$ en un espacio de Banach $X$ se llama Base Schauder si cada $x \in X$ se puede escribir únicamente como $x = \sum_{n=1}^{\infty} a_n x_n$ .
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Si $\{x_n\}$ es una base de Schauder entonces hay una proyección $P_n: X \to \operatorname{span}{\{x_1,\ldots,x_n\}}$ . Esta proyección es continua y el constante de base de $\{x_n\}$ es $\sup_n \|P_n\| \geq 1$ .
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A serie $x = \sum_{n=1}^{\infty} x_n$ en un espacio de Banach se dice que es incondicionalmente convergente si para cada permutación $\pi$ de los enteros positivos la serie $\sum_{n=1}^{\infty} x_{\pi(n)}$ converge.
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Una base (Schauder) se llama incondicional si la representación $x = \sum_{n=1}^{\infty} a_n x_n$ converge incondicionalmente. Se puede demostrar que con una base incondicional se pueden omitir los sumandos y cambiar arbitrariamente sus signos y reordenar su orden sin afectar a la convergencia (de ahí el término). Véase, por ejemplo, M.M. Day, Espacios lineales normados Capítulo IV, §3 y §4.
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Dejemos que $\{x_n\}$ ser una base incondicional. Si $I$ es un conjunto finito de números naturales, entonces escribe $P_I$ para la proyección sobre el tramo de $\{x_i\}_{i \in I}$ . El constante incondicional de una base incondicional es $C = \sup{\{ \|P_{I}\|\,:\,\emptyset \neq I \subset \mathbb{N}\text{ finite}\}}$ . Si $C = 1$ entonces la base se llama $1$ -condicional .
Para que te resulte más cómodo te reproduzco una imagen de la prueba fácil pero muy resbaladiza:
![proof from LT]()
Añadido: Lindenstrauss y Tzafriri atribuyen el resultado a A. Tong, Submatrices diagonales de mapas matriciales , Pacific J. Math. Volumen 32 , número 2 (1970), 551-559 donde se encuentran variantes más generales y más especializadas. Para un "estudio detallado de algunas cuestiones relacionadas y más profundas" remiten al lector a S. Kwapień, A. Pełczyński, La proyección del triángulo principal en espacios matriciales y sus aplicaciones , Studia Mathematica, Vol. 34 (1970), 43-68. Véase aquí para el texto completo de ese volumen.
