Un grupo de orden $8$ tiene un subgrupo de orden $4$

Question

Deje $G$ ser un grupo de orden $8$. Demostrar que existe un subgrupo de orden $4$.

Sé que si $G$ es cíclico, a continuación, hay un subgrupo de (si $G=\langle a\rangle$, entonces el orden de $\langle a^2\rangle$$4$). Pero, ¿cómo puedo demostrar que esta al $G$ no es cíclica? Además, sé que $G$ tiene un elemento de orden $2$, debido a la orden de $G$ es incluso. Sospecho que, asumiendo que todos los elementos de a $G$ son de orden $2$ de alguna manera conduce a una contradicción, pero soy incapaz de demostrar. Es esto correcto o hay un enfoque diferente que me estoy perdiendo? gracias

Answer 1

Ya notaste si un elemento de orden $G$ $8$ o $4$ entonces hemos terminados.

Así podemos suponer que todos los elementos tienen orden $2$ (excepto el elemento de identidad). $G$ Es abelian (este es un ejercicio estándar, y estoy seguro de se ha pedido el ratón varias veces).

Que $a$ y $b$ ser distintos elementos de orden $2$. Ahora es sencillo comprobar que $\{e,a,b,ab\}$ es un subgrupo de orden $4$ (donde $e$ es el elemento identidad de $G$).

Answer 2

Si $G$ es abeliano, por lo que según el teorema Fundamental de grupos abelianos finitos tenemos: $$G\cong~~~\mathbb Z_8,~~\mathbb Z_4\times\mathbb Z_2,~~\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$$ So lets assume that $G$ is not abelian. If there is an element in $G$ which is of order $8$ then we have a contradiction. If all non trivial elements of $G$ be of order $2$ so again we have $G=\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$ which is a new contradiction, so we at least know that there is an elemnt of order $4$. I think we can stop here cause you wanted to know that. For the next you can use the subgroup generated by $x$ to show that $G=\langle y,x\rangle$ in which $y\in G-\langle x\rangle$ and of course $$G\cong \text{Q}_8,~~\text{or}~~\text{D}_8$$

Answer 3

Esto es una consecuencia directa del teorema siguiente.

Sea $G$ un grupo de orden $p^{n}$ $p$ un primer. Entonces para cada $m$ $0 \leq m \leq n$ $G$ tiene un subgrupo de orden $p^{m}$.

La prueba está aquí.

Answer 4

Me gustaría considerar los elementos de las diferentes órdenes y tomar los casos que corresponda.

Ya son felices con lo que hacer si hay un elemento de orden 8 (y, por tanto, el grupo generado por este elemento y cíclico).

A continuación, si hay un generador de orden cuatro, es evidente que sólo puede ser uno de otro generador, y este debe ser de orden dos. Si tenemos $a$ $b$ de órdenes 2 y 4, respectivamente, se puede comprobar fácilmente comprobar lo que todos los elementos son, y lo que debería ser obvio lo que el subgrupo de orden 4 es.

Por último, si usted tiene un generador de orden dos, usted podría tener otro generador de orden 4, pero ya hemos considerado este. La única otra alternativa es tener dos o más generadores de orden 2, que deben de viajar (más del grupo que generan sería demasiado grande) y de nuevo, si se considera el grupo abelian generado por $a$, $b$ y $c$, todos de orden dos, se debe tener claro cómo se puede generar un grupo de orden cuatro.

Tenga en cuenta que esta no es la solución más elegante, pero es probablemente la más concreta. Y por favor, pregunte si algo no está claro.