Tengo la siguiente suma infinita que puede ser expresada en términos de la función hipergeométrica generalizada : $$ \sum_ {n=1}^ \infty\frac {(2n-1)!!\ (2n+1)!!}{4^n\ (n+2)\ (n+2)!^2}= \frac {31}8-4 \times {_4F_3} \left (- \frac12 , \frac12 ,1,1;\ 2,2,2;\ 1 \right ) \\\ \\\approx0.008749644047541935203478962326551903908774780849356243615274... $$ Me pregunto si puede expresarse en términos de funciones más simples y constantes matemáticas conocidas.
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Bien... Considere sólo la función hipergeométrica y su forma cerrada.
Toma 16.5.2 del DLMF (con $a_0=1/2$ , $b_0=2$ ) y escribir (utilicé Mathematica para sustituir la forma especial de la función hipergeométrica en el integrando; realmente no sé cómo hacerlo a mano): $$ F(-1/2,1/2,1,1;2,2,2;1) = \int_0 ^1 \frac {8 \sqrt {1-t} \left (4-4 \sqrt {1-t}+t \sqrt {1-t}- \log8 +3 \log (1+ \sqrt {1-t}) \right )}{9 \pi t^{3/2}}\,dt. $$
Mathematica puede entonces hacer la integral en forma cerrada para dar $$ \frac {1}{9 \pi }8 \left ( \frac {70}{3}+ \frac {11 i \pi ^2}{4}+ \pi \left (-7+ \log 512-6 \log\left (1+ \frac {1+i}{ \sqrt {2}} \right ) \right )+24 i \mathrm {Li}_2 \left (- \frac {1+i}{ \sqrt {2}} \right )-24 i \mathrm {Li}_2 \left (1- \frac {1+i}{ \sqrt {2}} \right ) \right ),$$ donde $ \mathrm {Li}_2$ es el polilogaritmo.
De esto tomamos sólo la parte real y hacemos un poco más de FunctionExpand: $$- \frac {56}{9}+ \frac {560}{27 \pi }- \frac {16 C}{3 \pi }+ \frac {64 \Im\left ( \mathrm {Li}_2(1-(-1)^{1/4}) \right )}{3 \pi }+ \frac {8 \log512 }{9}- \frac {8}{3} \log\left ( \frac {1}{2}+ \left (1+ \frac {1}{ \sqrt {2}} \right )^2 \right )+ \frac { \psi_1\left ( \frac {1}{8} \right )}{3 \sqrt {2} \pi }+ \frac { \psi_1\left ( \frac {3}{8} \right )}{3 \sqrt {2} \pi }- \frac { \psi_1\left ( \frac {5}{8} \right )}{3 \sqrt {2} \pi }- \frac { \psi_1\left ( \frac {7}{8} \right )}{3 \sqrt {2} \pi }, $$ donde $ \psi_1 $ es la función poligámica y $C$ es la constante catalana.
Ahora, el término polilogaritmo puede ser simplificado usando la identidad (DLMF 25.12.6) $$ \mathrm {Li}_2(x)+ \mathrm {Li}_2(1-x)= \frac { \pi ^2}{6}- \log x \log (1-x), $$ porque $ \mathrm {Li}_2((-1)^{1/4})$ es más simple.
Después de otra FunctionExpand (que también elimina las funciones de los polígamos), ComplexExpand para obtener la parte real, y FullSimplify para simplificar la expresión, la respuesta es $$ - \frac {56}{9}+ \frac {560}{27 \pi }- \frac {32C}{3 \pi }+ \frac {16}{3} \log2 $$
Vladimir Reshetnikov
Puntos
18017
Puedo dar una respuesta parcial:
Mi programa basado en el TranscendentalRecognize El algoritmo que utiliza un amplio conjunto de constantes que ocurren comúnmente después de varias horas de trabajo descubrió la siguiente desigualdad:
$$ \Bigg | \frac {16 \ln2 }{3}- \frac {32C}{3 \pi }+ \frac {560}{27 \pi }- \frac {56}{9}-{_4F_3} \left (- \frac {1}{2}, \frac {1}{2},1,1;2,2,2;1 \right ) \Bigg |<10^{-1000},$$ donde $C$ es el Constante catalana .
No tengo ni idea de si la diferencia real es exacta $0$ o cómo (des)probarlo.
