¿Cómo opinas matemáticos sobre geometría dimensional alta?

Question

Muchas ideas y algoritmos proceden de imaginar puntos en espacios 2d y 3d. Ya sea en el análisis de la función, el aprender de máquina, coincidencia de patrón y muchos más.

¿Cómo opinas matemáticos sobre dimensiones superiores? ¿Pueden transferencia de intuiciones sobre el significado de producto de punto, ángulos y longitudes de geometría 2d a una 100d?

¿Si por lo tanto, sería suficiente para comprender las dimensiones más altas, es decir, el mismo problema en 100d podría tener properties\behaviours que no se ven en 2d\3d?

Answer 1

Es muy depende de los objetos que se definan. De hecho, cuando se habla de espacios vectoriales, nos algebraicamente pensar acerca de $\mathbb{R}^n$, la construcción de la intuición, y, a continuación, establezca $n=100$.

Sin embargo, al comenzar a agregar objetos exóticos, como nudos, que se vuelve menos "fácil". Por ejemplo, algunos nudos en $\mathbb{R}^3$ son triviales bucles en $\mathbb{R}^4$ (es decir. el nudo de trébol se cae a pedazos en 4D).

A continuación, de nuevo, sus funciones y su ortogonalidad se calcula en $\mathbb{R}^{89270}$ tal y como son en $\mathbb{R}$ - nada extraño allí. Es sólo cuando se considere la posibilidad de infinitas dimensiones de los espacios que esto se convierte en poco intuitivo de nuevo.

Así que, en definitiva, depende por completo de los objetos de que hablan. La mayoría de las finito-dimensional espacios vectoriales sobre algún campo $K$ son iguales en casi todos los aspectos. La adición de más estructura puede hacer que sea mucho más difícil, y a menudo, todos los matemáticos es el álgebra.