Esta es una pregunta cuya respuesta me gustaría conocer
La pregunta es: ¿cuál es el conjunto de todas las funciones enteras $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ tal que $f(\mathbb{Q})\subseteq \mathbb{Q}$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Marc
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Sorprendentemente, se puede conseguir mucho más:
MR0301195 Barth, K. F.; Schneider, W. J. Funciones enteras que mapean conjuntos densos contables arbitrarios y sus complementos entre sí. J. London Math. Soc. (2) 4 (1971/72), 482-488.
Se demuestra que si A, B son dos conjuntos densos contables en el plano complejo, entonces existe una función entera w=f(z) tal que f(z)∈B si y sólo si z∈A. Este resultado bastante sorprendente responde a una cuestión planteada por primera vez por P. Erdős.
Esto se aplica a los números "racionales complejos", pero en otro artículo tratan el caso real:
Barth, K. F.; Schneider, W. J. Funciones enteras que mapean subconjuntos densos contables de los reales entre sí monótonamente. J. London Math. Soc. (2) 2 1970 620-626.
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Me imagino que todos los polinomios con coeficientes racionales son aptos.
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@orion No, incluso considerando todos los polinomios con coeficientes racionales solamente, pueden tener $f(\mathbb{Q})\subsetneq \mathbb{Q}$ .
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Evidentemente (?) tenemos $f(z) = az+b$ con $a\in \mathbb{Q}\setminus\{0\}$ y $b\in\mathbb{Q}$ . Tengo la firme sospecha de que son todos, pero demostrarlo no es obvio.
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Ah, sí, hay que evitar las funciones con inversos irracionales... En ese caso, creo que @DanielFischer tiene razón. Supongo que si ignoramos el requisito de "función entera", obtendremos todas las transformaciones racionales de Mobius.
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Hay un montón de ellos, ver Funciones que llevan los racionales a los racionales . La pregunta es sobre $\mathbb R\to\mathbb R$ pero la función intermedia $g$ Construyo en mi respuesta es analítica $\mathbb C\to\mathbb C$ y mapea racionales a racionales, pero es no un polinomio. Debería estar razonablemente claro que hay un continuo de funciones similares.
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@orion,Daniel Fisher: Lo siento, estaba pensando en $\subseteq$ y escribí =. He editado.
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En ese caso, todos los polinomios racionales y cocientes de polinomios racionales están bien.
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@orion: Los cocientes de los polinomios no son enteros.
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Claro, acabo de ampliar mi respuesta anterior (transformaciones de Mobius) pero, por supuesto, entre las funciones enteras sólo se aplican los polinomios.