$\mathbb R^2$ no es homeomorfo a $\mathbb R^3$ .

Question

Estaba leyendo Munkres para la Topología. En él, se menciona que $\mathbb R$ no es homeomorfo a $\mathbb R^2$ ya que la eliminación de un punto de ambos hace que el primero se desconecte mientras que el segundo sigue conectado.

¿No podemos decir en la misma línea que $\mathbb R^2$ no es homeomorfo a $\mathbb R^3$ ya que al borrar una línea de ambas se desconecta la primera pero la segunda sigue conectada.

¿En qué me estoy equivocando?

EDITAR

Sé que podemos demostrar que no son homeomórficos utilizando la conectividad simple, pero quiero encontrar el error en ese enfoque.

Answer 1

Intentemos reproducir el argumento.

Supongamos que existe un homeomorfismo $f: \Bbb R^2 \to \Bbb R^3$ . Llame a su línea $L \subset \Bbb R^2$ . Entonces se restringiría a un homeomorfismo $\Bbb R^2\setminus L \to \Bbb R^3 \setminus f(L)$ .

Ahora, ¿por qué es $\Bbb R^3 \setminus f(L)$ ¿conectada? ¿Por qué la línea no puede $f(L)$ estar incrustado de una forma extremadamente extraña que hace que su complemento esté desconectado? (Como ejemplo de "incrustaciones extrañas", véase la esfera de Alexander Horned, una incrustación de $S^2$ en $\Bbb R^3$ tal que una de las dos componentes conectadas de su complemento no es simplemente conectada).

La forma de evitar esto cuando $L$ ¡es un punto en lugar de una línea es que es difícil incrustar un punto extrañamente! Un punto es un punto es un punto, y sabemos que $\Bbb R^3 \setminus \{p\}$ es simplemente conectado para cualquier elección de punto $p$ . Pero es difícil ver que $\Bbb R^3 \setminus L$ está conectada para cualquier elección de línea real correctamente incrustada $L$ .

Answer 2

Un hecho clave: " $x$ es un punto del espacio topológico $X$ " es una propiedad invariante bajo homeomorfismo, mientras que " $x$ es una línea en el espacio topológico $X$ " (sea cual sea la definición de línea que se tome) no es invariable bajo homeomorfismo.

El argumento de que $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^2$ no son homeomórficos pasa porque, suponiendo $\mathbb{R}$ fueran de alguna manera homeomórficos a $\mathbb{R}^2$ conocemos el punto eliminado en $\mathbb{R}$ corresponde a un punto en $\mathbb{R}^2$ . Pero no así con una línea en $\mathbb{R}^2$ correspondiente a una línea en $\mathbb{R}^3$ .

Por supuesto, se podría en lugar de decir quitar un línea de $\mathbb{R}^2$ , retire una copia de $\mathbb{R}$ (un subespacio homeomorfo a $\mathbb{R}$ . Esto es ahora invariante bajo homeomorfismo, sin embargo, tienes esencialmente el mismo problema: una copia de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}^3$ no tiene por qué ser nada bonito, y desde luego no tiene por qué ser una línea.

---

Otra forma de decir esto es que la "línea" en $\mathbb{R}^3$ no puede ser elegido por usted; tiene que ser la imagen de la línea en $\mathbb{R}^2$ bajo el homeomorfismo. Para mostrar los espacios topológicos $X$ y $Y$ no son homeomorfos, ciertamente no es suficiente eliminar el mismo subespacio de ambos (que tú eliges) y demostrar que los resultados no son espacios homeomorfos. Un contraejemplo es eliminar el intervalo abierto $(0,1)$ de $\mathbb{R}$ y $(0,2)$ (espacios topológicos homeomórficos); el primero se desconecta; el segundo permanece conectado.