No son exactamente sinónimos.
Un genérico de propiedad es una propiedad de los genéricos de punto. Un general de la propiedad es una propiedad que se mantiene lejos de un Zariski subconjunto cerrado. Para ilustrar la diferencia, yo haría lo siguiente:
Ejemplo. Si usted tiene un sistema lineal de los divisores $|D|$, se puede decir que el genérico elemento de $|D|$ cumple cierta propiedad $Q$ si el genérico punto de $|D|$ (que es un espacio proyectivo, por lo tanto tiene un único punto genérico) satisface $Q$. Por otro lado, se puede decir que el general de miembros de $|D|$ satisface $Q$ en el caso de que hay un Zariski denso abierto subconjunto $U\subset |D|$ de manera tal que cada punto en $U$ satisface $Q$.
Observación. Si $F$ es un esquema de parametrización un una familia de esquemas, y $Q$ es una propiedad de los sistemas, veamos las frases:
- El elemento genérico de $F$ satisface $Q$;
- El elemento general de la $F$ satisface $Q$.
La negación del 1 y 2 son sensiblemente diferentes:
- El elemento genérico de $F$ no satisfacer $Q$;
- El subconjunto de $\{p\in F\,|\,p\textrm{ satisfy }Q\}\subset F$ ha vacío interior.
Para resumir: si una propiedad vale para un elemento general, no quiere decir que se tiene para los genéricos de punto (siempre que tengas uno de esos). Pero a veces uno puede, en cierto sentido, ir al revés:
De lo genérico a lo general. Supongamos que usted tiene un morfismos de esquemas $X\to Y$, $Y$ irreductible de genéricos punto de $\eta$. Deje $Q$ ser una propiedad de los sistemas. Si el genérico de fibra de $X_\eta$$Q$, y la propiedad es edificable, a continuación, un general de la fibra ha $Q$, lo que significa que existe un subconjunto abierto $U\subset Y$ tal que $X_u$ $Q$ por cada $u\in U$.
Las curvas. Supongo que por "un general de la curva" de género $g$ uno de los medios a un punto general en $M_g$. De curso $M_g$ es una irreductible variedad, por lo que también tiene un único punto genérico, y que tiene sentido hacer declaraciones acerca de los genéricos de la curva de género $g$.
