¿La integración indefinida es no lineal?

Question

Consideremos este pequeño problema: $$ \int0\;dx = 0\cdot\int1\;dx = 0\cdot(x+c) = 0 \tag1 $$ $$ \frac{dc}{dx} = 0 \qquad\iff\qquad \int 0\;dx = c, \qquad\forall c\in\mathbb{R} \tag2 $$

Se trata de dos resultados contradictorios. Basado en este otro pregunta, parece indicar la respuesta de Sam Dehority: $$ \int\alpha f(x)\;dx\neq\alpha\int f(x)\;dx,\qquad\forall\alpha\in\mathbb{R} \tag3 $$

Sin embargo, esto implica claramente que la integración indefinida es no lineal, ya que un operador lineal $P$ debe satisfacer $P(\alpha f) = \alpha Pf, \forall\alpha\in\mathbb{R}$ , incluyendo $\alpha=0$ . Después de todo, una combinación lineal de elementos de un espacio vectorial $V$ puede tener escalares de valor cero: $f = \alpha g + \beta h, \forall\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ y $g, h\in V$ . Todo esto parece corroborar que el cero no está excluido cuando se trata de posibles escalares de operadores lineales.

Por poner dos ejemplos, tanto los operadores matriciales del álgebra lineal como los operadores derivados son lineales, incluso cuando el escalar es cero. En un caso matricial, por ejemplo, dejemos que el operador $A$ operar un vector: $A\vec{x} = \vec{y}$ . Ahora: $A(\alpha\vec{x}) = \alpha A\vec{x} = \alpha\vec{y}$ . Esto funciona incluso para $\alpha = 0$ .

¿Por qué es $(3)$ ¿es cierto? ¿Puede alguien demostrarlo formalmente? Si $(3)$ es falso, ¿cómo arreglamos $(1)$ y $(2)$ ? ¿Cuándo se cumple exactamente la siguiente igualdad (prueba formal)? $$ \int\alpha f(x)\;dx = \alpha\int f(x)\;dx,\qquad\forall\alpha\in\mathbb{R} $$

Agradecería respuestas y pruebas formales.

Answer 1

La cuestión aquí es que el operador integral indefinido, cuando se aplica a una función, no da una función como salida. Da una clase de equivalencia de funciones, equivalente hasta la traslación constante.

Normalmente escribimos $\int 2x ~dx = x^2 +C$ pero lo que realmente queremos decir es que $\int 2x ~dx = [x^2]$ , donde $$[x^2]=\{x^2+C: C\in \mathbb{R}\}.$$

Ahora, el problema aparente desaparece: $$\int \overline{ 0} ~dx = [\overline{0}]$$ y $$0\int \overline{1} ~dx = 0[x] = [0x]=[\overline{0}]$$

En lo anterior, $\overline{0}$ denota la función cero, mientras que $0$ denota el escalar cero. (De manera similar $\overline{1}$ denota la función idéntica-uno). Esta notación es sólo por claridad, para enfatizar la diferencia entre los dos símbolos de cero.

Answer 2

$\int f(x)dx$ es la notación habitual para el conjunto de todas las antiderivadas de $f(x).$ Así, si $F(x)$ es una derivada particular de $f(x)$ entonces

$$\int f(x)dx=\{F(x)+c:c\in\mathbb{R}\},$$

si el dominio de $f$ está conectado. Así,

$$\int \alpha f(x)dx=\{\alpha F(x)+c:c\in\mathbb{R}\}$$ si $\alpha\ne 0$ y

$$\int \alpha f(x)dx=\{c:c\in\mathbb{R}\}$$ si $\alpha=0.$

Estás intentando trasladar la linealidad de la integral definida a la integral indefinida. Pero una integral definida te da un número y una integral indefinida te da un conjunto de funciones. Así que la linealidad debe entenderse en este sentido, y no con antiderivadas particulares.

Answer 3

Mi "respuesta" debería ser un comentario bajo las dos respuestas publicadas, pero no tengo suficiente reputación para publicar comentarios. Hay un error (muy popular) en ambas respuestas. El operador integral indefinido NO da una clase de funciones iguales hasta la traslación constante. Veamos un ejemplo. Alguien podría evaluar la integral de 1/x así: $$ \int\frac{1}{x}dx = \begin{cases} logx + C & \text{if x > 0}\\ log(-x) + C & \text{if x < 0}\\ \end{cases} = log|x| + C \\ \text{where C} \in \mathbb{R}. $$ Sin embargo, esta respuesta no es exhaustiva. Las constantes para x negativo y positivo pueden ser diferentes. La respuesta exhaustiva sería $$ \int\frac{1}{x}dx = \begin{cases} logx + C & \text{if x > 0}\\ log(-x) + D & \text{if x < 0}\\ \end{cases},\\ \text{where C,D} \in \mathbb{R}. $$ Por lo tanto, no es cierto decir que $$ \int f(x) dx = \{ F(x) + C : C \in \mathbb{R} \}\\ \text{for a particular $ F(x) $}. $$