Invariación de Turing en grandes conjuntos de

Question

Definición: Una función de $f: 2^{\omega} \rightarrow 2^{\omega}$ es de Turing invariante si $x \equiv_T y \rightarrow f(x)\equiv_T f(y)$.

Pregunta I (en $ZFC$): Vamos a $f: 2^{\omega} \rightarrow 2^{\omega}$ ser un Borel función, es necesariamente un conjunto $A$ de Lebesgue positiva medida que el $f\restriction A$ es de Turing invariante?

Comentario: Asumiendo el axioma de elección, es fácil construir un no-Borel contraejemplo, así que sospecho que la respuesta a la pregunta puede tener algo que ver con la interacción de la elección-patologías-definability, por lo tanto, yo también estoy interesado en la siguiente pregunta:

Pregunta II: Igual que la anterior pregunta, pero sin elección de los modelos en los que hemos regularidad de las propiedades para todos los conjuntos de reales (por ejemplo, Solovay del modelo y $AD$ de los modelos).

Answer 1

Deje $f:2^{\omega} \to 2^{\omega}$ proyección incluso en las coordenadas: $f(x) = x_0$ donde $x = x_0 \oplus x_1$. Supongamos $A \subseteq 2^{\omega}$ es compacto y tiene medida positiva. WLOG, podemos asumir que por cada $x \in A$, $x_0$ es Turing incomparable con $x_1$. El uso de Lebesgue densidad, elegir $\sigma, \tau \in 2^{k}$, $k < \omega$ tal que $A$ tiene, digamos, más de $99$ % medida en $[\sigma \oplus \tau]$. Desde $A$ tiene una alta densidad en $\sigma \oplus \tau$, se puede elegir $x \in 2^{\omega}$ tanto $y = \sigma x_0 \oplus \tau x_1$$z = \sigma x_1 \oplus \tau x_0$$A$. Pero $y, z$ tienen el mismo Turing grados mientras que $f(y) = \sigma x_0$ $f(z) = \sigma x_1$ no son ni siquiera Turing comparables.