Invarianza del lagrangiano en el teorema de Noether

Question

A menudo, en los libros de texto, el teorema de Noether se enuncia suponiendo que el lagrangiano debe ser invariante $\delta L=0$ .

Sin embargo, dado un lagrangiano $L$ sabemos que los Lagrangianos $\alpha L$ (donde $\alpha$ es una constante cualquiera) y $L + \frac{df}{dt}$ (donde $f$ es cualquier función) conducen a las mismas ecuaciones de movimiento.

Podemos entonces considerar que la lagrangiana es invariante bajo una transformación si encontramos $\delta L=\alpha L$ o $\delta L=\frac{df}{dt}$ en lugar de $\delta L=0$ ?

Answer 1

Aquí me gustaría mencionar la noción de cuasi-simetría. En general, si la lagrangiana (resp. la densidad lagrangiana resp. la acción) sólo es invariante hasta una derivada temporal total (resp. la divergencia espacio-temporal resp. el término de frontera) cuando se realiza un determinado off-shell $^1$ variación, se habla de una cuasi-simetría, véase, por ejemplo, la Ref. 1.

Primer teorema de Noether también es válida para las cuasi-simetrías. Para los ejemplos de no trivial leyes de conservación asociadas a las cuasi-simetrías, véanse los ejemplos 1, 2 y 3 en el Artículo de Wikipedia sobre el teorema de Noether .

Referencias:

1. J.V. Jose y E.J. Saletan, Dinámica clásica: Un enfoque contemporáneo, 1998; p. 565.

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$^1$ Aquí la palabra fuera de la concha significa que no se supone que las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange (EL) se mantengan bajo la variación específica. Si asumimos que las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange se mantienen, cualquier variación del Lagrangiano es trivialmente una derivada total.

Answer 2

Sólo quiero decir que el teorema estándar de Noether es muy aplicable al caso de que $\delta L = \dot f$ . Por ejemplo, la traslación del tiempo es de esta forma. Podemos verlo realizando el procedimiento de Noether para una traslación temporal minúscula.

$$ q(t) \to q(t + \varepsilon) \approx q(t) + \varepsilon \dot q(t)\\ \dot q(t) \to \dot q(t) + \varepsilon \ddot q(t) $$ Esto envía $$ L \to L + \varepsilon \dot L $$ como se prometió. Si entonces hacemos $\varepsilon$ en una pequeña función dependiente del tiempo $\varepsilon(t)$ Ahora tenemos

$$ q(t) \to q(t) + \varepsilon(t) \dot q(t) \\ \dot q(t) \to \dot q(t) + \varepsilon(t) \ddot q(t) + \dot \varepsilon(t) \dot q(t). $$

Después de un poco de esfuerzo con la regla de la cadena del cálculo multivariable, encontramos que esto envía

$$ L \to L + \varepsilon \dot L + \dot \varepsilon \dot q \frac{\partial L}{\partial \dot q} $$

A continuación, utilizamos el hecho de que $\delta S = 0$ en las soluciones de las ecuaciones de movimiento, y tras una integración por partes encontrar que

$$ \frac{d}{dt} ( p \dot q - L ) = 0 $$

en las soluciones de las ecuaciones de movimiento. Esto es sólo la conservación de la energía

Simetrías TLDR que cambian $L$ por una derivada total simplemente se incorporan al teorema de Noether sin tener que hacer nada extra. Las traslaciones temporales son un ejemplo de ello.

Sin embargo, $\delta L \propto L$ es un poco más exótico. Realizando el procedimiento de Noether sobre el Lagrangiano de una partícula libre $(L = m \dot q^2 / 2)$ que sí tiene una simetría de escala $q \to (1+\varepsilon) q$ Me parece que la "ley de conservación" (si quieres llamarla así) es simplemente $m q\ddot q = 0$ que es trivial $0$ de todos modos en las ecuaciones del movimiento.