Este es un sistema bien establecido de la teoría, que es muy bien presentada en el segundo volumen de los dos volúmenes de la obra de Curtis y Reiner. Aquí está el quid de la cuestión:
Desde racional de la representación es también una representación compleja, usted todavía tiene el carácter de teoría para ayudar a usted. En particular, una representación racional aún está determinada únicamente por su carácter, que, por supuesto, sólo toma valores en $\mathbb{Q}$.
Así que supongo que querías hacer lo contrario: empezar con el conocimiento de todos los complejos de representaciones (incluyendo el carácter completo de la tabla), y construir todos los irreductible racional. La absoluta Galois grupo de $\mathbb{Q}$ actúa sobre el conjunto de complejas representaciones que actúan sobre cada entrada en cada matriz, y por lo tanto también actúa sobre el conjunto de caracteres. Si $\chi$ es el carácter de una irreductible racional de la representación, entonces debe ser invariante bajo la Galois de acción. En particular, si $\phi$ es una irreductible carácter complejo que se encuentra dentro de $\chi$, entonces cada Galois conjugado $\phi^\sigma$ también tiene que sentarse en $\chi$ con la misma multiplicidad. Así que el primer paso es tomar una irreductible personalidad compleja $\phi$ e a "racionalizar"$\chi = \sum_{\sigma\in \text{Gal}}\phi^\sigma$, con la suma de correr sobre las distintas Galois conjugados de $\phi$.
Así que ahora usted tiene un $\mathbb{Q}$-valores de carácter, pero esto no significa que la correspondiente representación puede ser realizado más de $\mathbb{Q}$ (como ejemplo, piensa en el estándar de representación de los cuaterniones grupo $Q_8$). Sin embargo, no hay un único mínimo entero $m(\chi)$ tal que $m(\chi)\chi$ puede ser realizado más de $\mathbb{Q}$, y esta representación es en realidad irreductible $\mathbb{Q}$. Esta $m(\chi)$ es llamado el índice de Schur de $\chi$, y está también muy bien tratada en Curtis y Reiner, pero también en Isaacs, por ejemplo. Ahora es fácil ver que todos los irreductible racional representaciones surgen de esta manera. Si usted está interesado en general en los campos de número, a continuación, sólo tiene un promedio de la Galois conjugados sobre dicho campo, pero usted todavía puede tener un índice de Schur volando a su alrededor.
La respuesta a tu pregunta sobre el número de irreductible racional de representaciones es realmente bueno: es igual al número de clases conjugacy cíclico de los subgrupos de $G$ (comparado con el conj clases de elementos, como en el caso complejo). Me parece recordar que esto está demostrado, entre otros lugares, en Serre del libro sobre la teoría de la representación. Esta es una de las maneras de afirmar Artin del teorema de la inducción.
