¿Se puede definir la derivada de una función utilizando conos tangentes? ¿Esa idea ya existe?

Question

Estoy interesado en encontrar un análogo de un derivado que se aplica a las funciones que se definen más general de subconjuntos de a $\mathbb{R}^n$ de los subconjuntos. En particular, estoy buscando en las funciones definidas en el no-negativo orthant de $\mathbb{R}^n$.

He estado pensando en que se podría utilizar tangente conos para tal fin. La pregunta es organizado de la siguiente manera, en primer lugar están las definiciones estándar de un cono tangente y una función derivable, entonces viene mi candidato extensión de la diferenciabilidad y finalmente están las preguntas.

Muchas gracias de avanzada (incluso si es sólo para tener una lectura!).

EDIT: ¿alguien piensa que esto sería un adecuado (o no) pregunta para MathOverflow?

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Tangente Conos: Vamos a $X\subseteq\mathbb{R}^n$$x\in X$. A continuación, el cono tangente a $X$ $x$ , $T_X(x)$ se define como el cierre del cono formado por todos los medio de líneas que emanan de $x$ e intersecantes $X$ en al menos un punto de $y\in X$ distinta de la de $x$. Formalmente

$$T_X(x)=\{0\}\cup\left\{y:y\neq0,\exists (x_k)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq X,\quad x_k\neq x\quad \forall k,\quad \frac{x_k-x}{||x_k-x||}\rightarrow\frac{y}{||y||}\right\}.$$

Función derivable: Supongamos $E$ es un conjunto abierto en $\mathbb{R}^n$, $f$ es una función que se asigna a $E$ a $\mathbb{R}^m$, e $x\in E$. Si existe una transformación lineal $A$ $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^m$tal que

$$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{|f(x+h)-f(x)-A(h)|}{|h|}=0,$$

donde $|\cdot|$ denota cualquier p-norma, entonces decimos que la $f$ es diferenciable en a $x$, y escribimos

$$f'(x)=A.$$

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Provisional de la extensión de "la diferenciabilidad": Supongamos que $X\subseteq\mathbb{R}^n$, $x\in X$ y $f:X\rightarrow\mathbb{R}^m$. Decimos que $f$ es diferenciable en a $x$ si existe una "pseudo-lineal" transformación de $\tilde{A}$ $T_X(x)$ $\mathbb{R}^m$tal que para cualquier secuencia

$$(h_k)_{k\in\mathbb{N}}\subset T_X(x)$$

que satisface $h_k\rightarrow 0$ $k\rightarrow\infty$

$$\frac{|f(x+h)-f(x)-\tilde{A}(h)|}{|h|}=0,$$

entonces decimos que la $f$ es diferenciable en a $x$, y escribimos

$$f'(x)=\tilde{A}.$$

Por $\tilde{A}$ pseudo-lineal me refiero a que para cualquier $a,b\in\mathbb{R}$ $x,y\in X$ tal que $ax+by\in X$

$$\tilde{A}(ax+by)=a\tilde{A}(x)+b\tilde{A}(y).$$

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Tenga en cuenta que, debido a $x\in int(X)$ implica que el $T_X(x)=\mathbb{R}^n$, la anterior definición coincide con la usual de un si $X$ está abierto. Mis preguntas entonces son:

1. Significa lo anterior noción de una función derivable y su derivada existe ya? Si es así cómo se llama? O es que hay más general de la noción de que el anterior es un caso especial?
2. Si 1., ¿existe un análogo de la regla de la cadena que se aplica a ella?
3. Del mismo modo, si $\tilde{A}$ es de tipo continuo, hay una manera fácil de calcular el $\tilde{A}$ en el estándar de la base de $\mathbb{R}^n$ (menos de la misma manera en que usamos las derivadas parciales para calcular la derivada de una continua funciones diferenciables)?
4. Del mismo modo, se puede extender un diferenciable (en el sentido anterior) de la función en $X$ a un diferenciable (en el sentido usual de la palabra) de la función en $\mathbb{R}^n$?
5. ¿Hay alguna razón por la que cualquier o todos los de arriba no podían ser contestadas afirmativamente (por ejemplo, algo que no tiene sentido en la derivada)?

Cualquier respuesta o referencias que pudieran contener les sería muy apreciada. Si le ayuda, por favor agregue cualquier extra condiciones en $X$ que está satisfecho por el orthant (cerrado, convexo, el cierre de un conjunto abierto, etc...).

Answer 1

Derivados de las asignaciones de valores de conjunto se definen naturalmente a través de diferentes tipos de conos tangentes. En particular, su definición está muy cerca de la definición de la derivada del contingente de un mapa de valores de conjunto. Usted puede leer sobre esto en el libro "análisis conjunto valorado" por j.-P. Aubin y H.Frankowska.

Answer 2

Me encontré con el siguiente trabajo de accidente de esta mañana, mientras que mirando a través de algunas de mis cosas. El papel que parece ser un ajuste cercano a lo que usted está preguntando acerca de. He incluido las observaciones introductorias que componen la primera página del documento.

José M. Bayod y J. M. Olazábal, Puntos de singularidad de las diferencias, Revista Internacional de la Educación Matemática en la Ciencia y la Tecnología 20 #3 (1989), 361-363.

En cálculo avanzado libros de texto, la diferenciabilidad de funciones de varias variables se define generalmente en los puntos interiores del dominio de definición de la función. La razón obvia de esto es que en puntos del interior fácilmente puede garantizar la unicidad de la diferencial (cuando la hay, por supuesto).

Por otro lado, para funciones de una variable real no es raro considerar la diferenciabilidad en puntos que no interior para el dominio de la función, especialmente en los extremos de un intervalo, donde es conocido como uno de los lados la diferenciabilidad. Algunos textos encontrar conveniente considerar las funciones definidas en general (es decir, abierta o no) los intervalos cuando se trata con funciones de una sola variable, y considerar sólo las funciones definidas en bloques abiertos al tratar con funciones de varias variables (véase, por ejemplo, [1], [2], [3]).

Incluso [4] {este es Flett 1980 libro Análisis Diferencial}, donde un muy general, la teoría puede ser encontrado, estudia la diferenciabilidad de funciones de una variable en la que no está aislado de los puntos de su dominio (la más general posible significativa enfoque, ya que en puntos aislados sólo se puede obtener en la trivialidad), pero se limita a los puntos del interior a la hora de estudiar varias variables funciones. El mismo se realiza en otros lugares de los libros de texto, como por ejemplo [5].

De hecho, siempre que la diferenciabilidad se necesita en un punto que está en el límite del dominio de la función (para funciones de varias variables), de la forma habitual para definir la diferencial es a través de la diferenciabilidad de algunos de extensión de la función original de un barrio de ese punto. En más especializados tratados, uno puede encontrar la diferencial en un punto adherente se define sólo en el cono tangente en ese punto (ver [6]) {este es Federer libro de 1966 Teoría Geométrica de la Medida}; la razón por la que es el teorema siguiente. Tanto nuestra declaración y la prueba son fácilmente accesibles a los estudiantes de un riguroso curso de cálculo avanzado, y sentimos que los estudiantes brillantes podría beneficiarse de aprender los geométricas implicaciones de la declaración (ver los comentarios al final de este documento).

Nuestro propósito es demostrar que los puntos de cualquier subconjunto $A$ ${\mathbb R}^n$ donde la definición habitual de la diferenciabilidad de una función debe necesariamente a la singularidad de la diferencial, son exactamente los puntos de $A$ donde la tangente de cono de $A$ abarca ${\mathbb R}^{n}.$ El resultado que nos dan puede ser una parte de la matemática folclore, y está implícita en trabajos como [6], pero no hemos sido capaces de rastrear en los textos para los estudiantes.

En el fin de mantener la exposición tan simple como sea posible, sólo se consideran funciones reales de un número finito de variables reales. Para que el vector de valores de las funciones de los cambios son evidentes; sin embargo, finito dimensionalidad es esencial en la segunda parte de nuestra prueba.