$R$ sea un anillo conmutativo con unidad tal que todo homomorfismo de anillo sobreyectivo $f:R\to R$ es inyectiva, entonces es $R$ ¿Noteriano?

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo con unidad tal que todo homomorfismo de anillo sobreyectivo $f:R\to R$ es inyectiva, entonces es $R$ ¿un anillo noetheriano?

Answer 1

He aquí un contraejemplo. Dejemos que $R=\mathbb{Z}[2^{1/3},2^{1/9},2^{1/27},\dots]\subset\mathbb{R}$ . Entonces $R$ no es noetheriano, ya que el ideal $(2^{1/3},2^{1/9},2^{1/27},\dots)$ no está generada finitamente. Pero el único homomorfismo de anillo $f:R\to R$ es la identidad. De hecho, cualquier $f$ debe ser la identidad en $\mathbb{Z}$ y luego $f\left(2^{1/3^n}\right)$ debe ser $2^{1/3^n}$ para cada $n$ desde $2^{1/3^n}$ es el único $3^n$ raíz de $2$ en $R$ .