Dejemos que $G$ un grupo de orden $6$ . Demuestra que:
i) $G$ contiene 1 o 3 elementos de orden 2.
ii) $G \cong \Bbb Z /6 \Bbb Z$ ou $G \cong S_3$ .
No he cubierto los grupos Sylow y los grupos normales. Este es un ejercicio del capítulo sobre acciones de grupo. He cubierto Lagrange y cosets.
Sin duda, teniendo en cuenta $n\in \mathbb N, n\geq 1$ existe un grupo cíclico de orden $n$ : En nuestro caso, existe un grupo cíclico $G\cong \mathbb Z /\mathbb 6Z \cong \mathbb Z_6$ .
Así que eso cubre una opción: Ahora, $\mathbb Z_6$ tiene exactamente cuántos elementos de orden $2$ ? Utiliza Lagrange y determina los posibles órdenes de los subgrupos. Cualquier elemento de orden $2$ generará un subgrupo de orden $2$ . $Z_6$ sólo tiene un subgrupo de orden $2$ : ¿Qué subgrupo de $\mathbb Z$ tiene orden $2$ y cuyo elemento tiene necesariamente el orden $2$ ?
Para cualquier grupo de orden par, sólo puede existir un número impar de elementos de orden $2$ . ¿Por qué?
Podemos descartar $5$ tales elementos para un grupo de orden $6\;\ldots\quad$ ¿POR QUÉ?
Por lo tanto, eso nos deja con $G$ teniendo $1$ ou $3$ elementos de orden $2$ . $\mathbb Z_6$ cubre una posibilidad. Si un grupo $G$ de orden $6$ tiene $3$ elementos de orden $2$ ¿Cómo, cómo determina esto completamente el grupo correspondiente $G$ ? (Para cualquier $G\not\cong \mathbb Z_6$ todos sus elementos deben estar en orden $1$ , $2$ o $3$ .)
Ahora, utiliza estos hechos para justificar que los únicos grupos de orden $6$ debe ser isomorfo a $\mathbb Z_6$ o a $S_3$ .
90intuition: siéntase libre de seguir con preguntas, si tiene alguna, o de publicar las conclusiones que pueda sacar de lo anterior.
No lo entiendo: "Seguramente para cualquier grupo G de orden n (por tanto un grupo finito), existe un grupo cíclico de orden n". ¿Qué quiere decir?
Propongo una solución diferente (aunque el problema ya está resuelto en otras respuestas) para i, que lo generaliza un poco: Un grupo $G$ con orden par tiene un número impar de elementos de orden 2. De aquí se deduce directamente i.
La prueba es realmente sencilla: para un elemento $a\in G$ definimos: $$U_a=\left\lbrace a,a^{-1}\right\rbrace$$ Tenemos que cada conjunto $U_a$ tiene dos elementos a menos que $a^{-1}=a$ Eso sólo ocurre si $a=1$ ou $a$ tiene orden dos. Ahora bien, si recogemos todas las $U_a$ para todos $a\in G$ , $G$ debe ser la unión disjunta de todas ellas. Por tanto, la suma de todos los $|U_a|$ debe el orden del grupo. Vamos a añadir un $1$ para el elemento $1_G$ y dos para cada elemento de orden distinto de dos, lo que significa que el número de elementos de orden $2$ debe ser impar para que sumen un número par
Para (ii), en el caso de que haya tres elementos de orden 2, sea $G$ actúan sobre el conjunto de elementos de $G$ de orden 2 por conjugación. Sea $G \to S_3$ sea el homomorfismo correspondiente. ¿Cuál puede ser el núcleo?
Si sólo hay un elemento de orden $2$ todos los elementos de $G$ debe conmutar con ese elemento. Consideremos los órdenes de los demás elementos.
$G$ debe tener subgrupos de orden 2 y 3 por el teorema de Cauchy. Estos subgrupos tienen orden primo, por lo que son cíclicos, así que digamos que $a$ y $b$ los generan y, por tanto, tienen órdenes 2 y 3, respectivamente.
Considere el conjunto $\{1, a, b, ab, b^2, ab^2\}$ . Todos ellos deben ser distintos, o bien uno de $a$ ou $b$ terminará con el orden equivocado. Por ejemplo, $ab = b^2$ da $a=b$ , lo cual es imposible. Ya que estos seis productos agotan el grupo, $G$ es generado por $a$ y $b$ .
Ahora, ¿qué es $ba$ ? Debe ser el mismo que uno de los seis elementos anteriores. $ba=1$ implica $a=b^{-1}$ que da un orden erróneo para $a$ ou $b$ . Del mismo modo, $ba=a$ implica que $b$ es la identidad, y tiene orden 1 en lugar de orden 3, y podemos descartar $ba=b$ y $ba=b^2$ de manera similar. Esto deja $ba=ab$ y $ba=ab^2$ .
$ab=ba$ significa que cualquier producto de $a$ s y $b$ s en cualquier orden pueden ser reordenados en la forma $a^ib^j$ y luego a $a^{i\bmod 2}b^{j\bmod 3}$ y por lo tanto es exactamente el grupo abeliano $Z_2\times Z_3 = Z_6$ .
La última posibilidad es $ab = b^2a = b^{-1}a$ . Esta es exactamente la relación que define a $D_6$ ya que una reflexión seguida de una rotación es lo mismo que una rotación inversa seguida de una reflexión. $D_6$ es isomorfo a $S_3$ con $a=(1 2)$ y $b = (1 2 3)$ .
Me gusta mucho esta prueba. Pero no entiendo la primera parte: ¿Por qué $G$ abelianas implican que $G$ ¿cíclico? Entiendo esta parte: $ab=ba abb=bab ab^2=b^2a$ . ¿Pero por qué esto significa que el grupo debe ser abeliano?
He limpiado y acortado la prueba considerablemente. He añadido detalles sobre por qué $ab=ba$ demuestra que $G$ es abeliano. Que un grupo abeliano de orden 6 debe ser $Z_6$ se desprende del clasificación de los grupos abelianos finitos que pensé que ya habrías estudiado: Cualquier grupo abeliano finito tiene la forma $Z_{n_1}\times Z_{n_2}\times\cdots\times Z_{n_k}$ y $Z_a\times Z_b\equiv Z_{ab}$ si y sólo si $a$ y $b$ no tienen ningún factor común. Así que los únicos grupos abelianos posibles de orden 6 son $Z_2\times Z_3$ y $Z_6$ y estos son los mismos.
Si $G$ no es $\mathbb Z/6\mathbb Z$ Entonces no es cíclico. Por lo tanto, el orden máximo es 3 (ver Lagrange). Se deduce fácilmente que también existe un elemento de orden 2. A partir de aquí para demostrar que en realidad es $S_3$ debería ser trivial. Esto resuelve la segunda parte.
La primera parte se deriva directamente de la segunda.
Deberíamos tomarnos un minuto para señalar que $o(x)=1$ si $x=e$ por lo que no podemos tener $O_{\text{max}}(G)=2$
No es para nada útil decirle al OP que algo "...debería ser trivial". Nada lo es realmente. Aporta una prueba, o al menos una ayuda. "Se deduce fácilmente que..." ¿Por qué? De nuevo: apoya las afirmaciones que crees que son fáciles, ya que el OP no estaría haciendo la pregunta si fuera "trivial" y "se siguiera fácilmente".
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Sugerencia: Intente utilizar las dos afirmaciones de esta página web groupprops.subwiki.org/wiki/
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Si no es $\mathbb Z/6\mathbb Z$ entonces todos los elementos son de orden $1,2,3$ . Elige un elemento de orden $2$ y un elemento de orden $3$ y tratar de deducir a partir de ahí.