TL;DR: El socio supersimétrica potencial OP potencial es el potencial constante, lo cual es claramente reflectionless.
Definir para su posterior conveniencia de la constante de $\kappa:=\hbar/\sqrt{2m}$. El potencial constante y OP potencial son sólo los dos primeros casos ( $\ell=0$ $\ell=1$ ) en una secuencia infinita de reflectionless atractiva$^1$ potenciales
$$\tag{1} V_{\ell}(x)~:=~-\frac{(\kappa a)^2 \ell(\ell+1)}{\cosh^2 ax}, \qquad \ell~\in~\mathbb{N}_{0}. $$
Deje que nosotros la próxima considerar una secuencia de dos superpartner potenciales
$$\tag{2} V_{\pm,\ell}(x)~:=~ (\kappa a)^2\left( \ell^2 -\frac{\ell(\ell \mp 1)}{\cosh^2 ax}\right). $$
Tenga en cuenta que la reflexión de las propiedades no se alteran por el desplazamiento de los potenciales hacia arriba o hacia abajo con un total constante. Eso es sólo una cuestión de convención. Así que a partir de ahora vamos a identificar a dos potenciales iff se diferencian por un total constante. E. g. los tres potenciales
$$ \tag{3} V_{+,\ell +1} ~\sim~ V_{-,\ell}~\sim~V_{\ell} $$
sólo se diferencian en general constantes.
Los dos superpartner potenciales (2) satisfacer
$$\tag{4} V_{\pm,\ell} ~=~ W_{\ell}^2 \pm \kappa W_{\ell}^{\prime} , $$
donde
$$\tag{5} W_{\ell}(x)~:=~\ell \kappa a \tanh ax $$
es el superpotenciales. Uno puede mostrar bajo bastante amplia suposiciones$^2$ que dos superpartner TICIAs$^3$
$$\tag{6} -\kappa^2 \psi^{\prime\prime} +V_{\pm,\ell}\psi~=~E \psi $$
compartir obligado estado espectro (excepto para el fondo estatal para $V_{-,\ell}$), y (valor absoluto) de los coeficientes de reflexión y transmisión, cf. Ref. 1. Por lo tanto se han relacionado todos los considerados potenciales
$$\tag{7} 0~\sim~ V_{-,0}~\sim~ V_{+,1}~\stackrel{\text{SUSY}}{\longleftrightarrow}~ V_{-,1}~\sim~ V_{+,2}~\stackrel{\text{SUSY}}{\longleftrightarrow}~ V_{-,2}~\sim~ V_{+,3}~\stackrel{\text{SUSY}}{\longleftrightarrow}~\ldots $$
el potencial constante. Esto explica por qué la secuencia (1) consta de reflectionless potenciales para un entero no negativo,$\ell\in\mathbb{N}_{0}$.
Por último, si $\ell \notin \mathbb{Z}$ es no es un entero, el superpotenciales (5) todavía tiene sentido. Sin embargo, el potencial (1) no se puede vincular a través de la utilización de supersimétricas los socios y los constantes cambios en el trivial potencial, y de hecho, el potencial de (1) es no reflectionless si $\ell \notin \mathbb{Z}$.
Referencias:
- F. Cooper, A. Khare, & U. Sukhatme, la Supersimetría y la Mecánica Cuántica, Phys. Rept. 251 (1995) 267, arXiv:hep-th/9405029; en el Capítulo 2.
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$^1$ Para la integridad, señalemos que hay también una secuencia de reflectionless repulsivo potenciales. Los análogos de la nca. (1), (2) y (5) leer
$$ \tag{1'} V_{\ell}(x)~:=~\frac{(\kappa a)^2 \ell(\ell+1)}{\sinh^2 ax}, \qquad \ell~\in~\mathbb{N}_{0},$$
$$\tag{2'} V_{\pm,\ell}(x)~:=~ (\kappa a)^2\left(\ell^2 +\frac{\ell(\ell \mp 1)}{\sinh^2 ax} \right), $$
$$\tag{5'} W_{\ell}(x)~:=~\ell \kappa a \coth ax , $$
respectivamente. Para $a\to 0$, esto se convierte en
$$ \tag{1''} V_{\ell}(x)~:=~\frac{\kappa^2 \ell(\ell+1)}{x^2}, \qquad \ell~\in~\mathbb{N}_{0},$$
$$\tag{2''} V_{\pm,\ell}(x)~:=~ \frac{\kappa^2\ell(\ell \mp 1)}{x^2} , $$
$$\tag{5''} W_{\ell}(x)~:=~\frac{\ell \kappa}{x} , $$
respectivamente. También tenemos por simplicidad de notación suprimida la libertad de cambiar el potencial de perfiles a lo largo de la $x$eje $x\to x-x_0$ .
$^2$ Starter, uno tiene que asumir que tanto los límites de $\lim_{x\to\pm\infty} W(x)$ existen y son finitos, que tienen en OP caso.
$^3$ La TICIA (6) puede ser transformado en uno de los asociados de Legendre ecuación diferencial, que famosamente se describe armónicos esféricos y el momento angular de los estados en QM con número cuántico azimutal $\ell\in\mathbb{N}_{0}$.
