Necesito demostrar que hay infinitos primos de la forma $4k+1$ . He demostrado que $-1$ no es un residuo cuadrático módulo $4k-1$ y es un residuo cuadrático módulo $4k+1$ . Por lo tanto, necesito demostrar que hay infinitos primos de la forma $b^2+1,\ b\in\mathbb{N}$ . La técnica estándar "multiplicar todos y sumar 1" no funciona aquí. ¿Alguien puede ayudar?
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Una pista: Demuestre que para cualquier colección finita $\{p_1,p_2,\dots,p_n\}$ de primos de la forma $4k+1$ hay un primo $p$ de la forma $4k+1$ que no está en la colección. Para ello, dejemos que $$N=(2p_1p_2\cdots p_n)^2+1.$$ Tenga en cuenta que $N$ es impar y mayor que $1$ . Así que $N$ tiene un divisor primo impar $p$ .
(a) Demuestre que $p$ no es igual a ninguno de los $p_i$ .
(b) Obsérvese que la congruencia $x^2\equiv -1\pmod{p}$ tiene una solución, a saber $2p_1\cdots p_n$ .
(c) Concluir que $p$ es de la forma $4k+1$ .
Observación: Se pueden obtener varios resultados similares utilizando herramientas de la teoría de los residuos cuadráticos. Por ejemplo, se pueden utilizar argumentos del mismo carácter general que el esbozado anteriormente para demostrar que hay infinitos primos de la forma $6k+1$ , $8k+3$ , $8k+5$ , $8k+7$ y $10k+9$ .
Si $a$ es positivo, y $\gcd(a,b)=1$ de hecho hay infinitos primos de la forma $ak+b$ . Este es un resultado mucho más profundo, llamado Teorema de Dirichlet sobre los primos en las progresiones aritméticas.
Eric Naslund
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Una pista: Lo que ha demostrado es que si $p\neq 2$ y $p|(b^2+1)$ entonces $p=4k+1$ ya que $b^2\equiv -1 \pmod{p}$ . Supongamos que hay un número finito de primos de la forma $4k+1$ , digamos que $p_1,\cdots, p_k$ . Entonces considere $$\left(2\prod_{i=1}^k p_k\right)^2+1.$$ ¿Qué podemos decir de sus divisores primos? ¿Cómo implica que hay infinitos primos de la forma $4k+1$ ?
