Buscar todas las funciones continuas$f$:$\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ satisfying:$f(xy)+f(x+y)=f(xy+x)+f(y)\quad\forall x,y \in \mathbb{R}$

Question

Encuentra todas las funciones continuas$f$:$\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ satisfying:$$f(xy)+f(x+y)=f(xy+x)+f(y)$$ $ \ forall x, y \ in \ mathbb {R} $

He intentado que:

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$P(y;x)-P(x;y)$:$f(xy+y)+f(x)=f(xy+x)+f(y)$ Asi que $P(x;1)$

dejar $f(x)+f(x+1)=f(2x)+f(1)$

Tenemos$P(x+1;1)$ porque$f(x+1)+f(x+2)=f(2x+2)+f(1)$ es las funciones continuas. Para aquí, no tengo idea de resolver el problema.

Answer 1

Vamos a denotar la funcional de la ecuación de $(*)$. Tenga en cuenta que si $f(x)$ satisface a $(*)$ luego lo hacen las funciones de la forma $af(x)+b$, para cualquier número real $a$$b$. Así, podemos asumir que el $f(0)=0$ por el cambio de la función lineal, si es necesario. Ahora, como tienes, tenemos $f(x+2)-f(x)=g(x)=g(0)=f(2)-f(0)=f(2)$.

Por otro lado, si tomamos $y=2$$(*)$, obtendremos $f(2x)+f(x+2)=f(3x)+f(2)$, y si sustituimos el valor de $f(2)$ a partir de la ecuación anterior, se obtiene la siguiente

$f(2x)+f(x+2)=f(3x)+f(x+2)-f(x) \implies f(2x)+f(x)=f(3x)$. Ahora sustituye $x+1$$x$: $f(3x+3)=f(3(x+1))=f(2(x+1))+f(x+1)=f(2x+2)+f(x+1)=f(2x)+f(2)+f(x+1)=f(2x)+f(x)-f(x)+f(2)+f(x+1)=f(3x)+f(x+1)-f(x)+f(2)$.

Así, tendremos $f(x+1)-f(x)+f(2)=f(3x+3)-f(3x)=f(3x+1)+f(2)-f(3x) \implies f(x+1)-f(x)=f(3x+1)-f(3x)$. Por lo tanto, de la misma manera como lo hizo, podemos obtener $f(x+1)-f(x)=f(1)-f(0)=f(1)$ usando la continuidad de la función $f$. El uso de simple inducción, vamos a conseguir

$(1)\space f(x+n)-f(x)=nf(1)$ para cualquier entero $n$.

En particular, se ha $f(n)=nf(1)$ todos los $n\in\mathbb Z$.

Si sustituimos en $y=n$ $(*)$ asumiendo $n$ es un número entero, obtenemos

$f(nx)+f(x+n)=f((n+1)x)+f(n)\implies f((n+1)x)=f(nx)+f(x)$. Por lo tanto, fácilmente se puede demostrar por inducción que

$(2)\space f(nx)=nf(x)$ para todo entero $n$ y real $x$.

Ahora, hay dos casos:

$1. f(1)=0 \implies f(n)=0$ para todo entero$n$$(1)$. Y por $(2)$ obtenemos $0=f(1)=f(m\frac{1}{m})=mf(\frac{1}{m})\implies f(\frac{1}{m})=0$ y por lo tanto, de nuevo por $(2)\space f(\frac{n}{m})=0$. Como la función es continua y $0$ sobre racionales, entonces es $0$ en todas partes.

$2. f(1)\neq0$. En este caso se puede cambiar la función si es necesario para hacer $f(1)=1$ (multiplicando con un número). Así, tendremos $f(n)=n$ para todos los números enteros, y de la misma manera como en el caso anterior, nos muestran que la $f(\frac{n}{m})=\frac{n}{m}$. Por lo tanto,la función de $f(x)-x$ $0$ sobre racionales, por lo que es $0$ en todas partes. Es por eso que llegamos $f(x)=x$.

Tomando la nota al principio, hemos demostrado que todas las soluciones para este problema será de la forma $f(x)=ax+b$ para algunos números reales $a$$b$.