$65536$ es el único poder de $2$ menos de $2^{31000}$ que no contiene los dígitos $1$ , $2$ , $4$ o $8$ en su representación decimal.
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dave
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224
Una simple explicación enciende la aparente aleatoriedad de la base $b$ dígitos de potencias suficientemente grandes de dos, en el sentido de que tienden a comportarse como muestras aleatorias. (Sin embargo, esto deja la aleatoriedad aparente inexplicada.)
Por lo tanto, que $S_k$ denotan el conjunto de dígitos que aparecen en el número de $2^k$ y dejar que $n_k$ ser su número; es decir, $n_k = \lfloor 1 + k \cdot log_{b}2 \rfloor $ . Si cada uno $S_k$ eran una simple muestra aleatoria, entonces, para cualquier $K$ y cualquier subconjunto $D \subset \{0,1,...,b-1\}$ (por ejemplo, $D=\{1,2,4,8\}, \ b=10$ ),
$$ \begin {align} P_K &= P( \text {at least one digit from D appears in *every* }S_K, S_{K+1}, S_{K+2},...) \\ &= P \left ( \bigcap_ {i=K}^ \infty C_{i} \right ) \\ &= \prod_ {i=K}^ \infty P(C_{i}) \\ &= \prod_ {i=K}^ \infty (1-q^{n_i}) \end {align} $$
donde
$C_i = \{S_i \cap D \ne \oslash\ }$ ,
$q = P( \text {digit } \notin D) = 1 - \frac {|D|}{b}$ .
Aquí hay algunos casos computados (redondeados) para $b=10$ y $|D|=4$ :
\begin K & P_K \\ \hline 1&0.002 \\ 10&0.304 \\ 15&0.575 \\ 20&0.780 \\ 50&0.998 \\ 100&0.999999 \\ 200&0.9999999999999 \end {\i1}{\b1}
Como ejemplos, he verificado que
- con $D=\{1,2,4,8\}$ y $b=10$ un dígito de $D$ se produce entre los dígitos de cada $2^k$ para la gama $17 \le k \le 200000$
- con $D=\{1,2,3,4\}$ y $b=10$ un dígito de $D$ se produce entre los dígitos de cada $2^k$ para la gama $4 \le k \le 200000$
Por lo tanto, parece extremadamente es probable que ambas declaraciones sean verdaderas:
-
$2^{16}$ es el sólo potencia de dos que no contiene un dígito de $\{1,2,4,8\}$ .
-
$2^3$ es el sólo potencia de dos que no contiene un dígito de $\{1,2,3,4\}$ .
NB : Estos son ejemplos de lo que probablemente es cierto y no se puede probar "Declaraciones de Dyson" .
