Permítanme en primer lugar la dirección de la 2-dimensional versión de su pregunta.
La característica de Euler de una superficie triangular, que es la cantidad de $V-E+F$ es conocido, es un invariante topológico. Lo que significa es que su valor numérico depende de la topología solo.
Así, por ejemplo, supongamos que usted tiene cualquier tipo de finito, convexo, 3-dimensiones del objeto cuya superficie se subdivide como una malla tetraédrica. En esa situación, no importa el número total de vértices, aristas y caras que hay, la ecuación de $V-E+F=2$ mantiene. El punto aquí es que la superficie de un finito, convexo, 3-dimensiones del objeto es topológicamente equivalente a la superficie de un agradable y suave, redondo de 3 dimensiones de la bola, y $V-E+F$ es un invariante topológico.
Ahora, es un poco difícil para mí estar seguro acerca de la topología de los objetos que han demostrado. Sin embargo, mi mejor conjetura es que mientras no hay túnel de los agujeros del oído a través de la fosa nasal agujeros (por ejemplo, ausencia de la trompa de Eustaquio), ni ninguno de los tubos de cualquier otro tipo, entonces la superficie del objeto es, de hecho, topológicamente equivalente a la superficie de un agradable y suave, redondo de 3 dimensiones de la bola. Y por lo $V-E+F=2$ debe ser verdad.
El valor de $V-E+F$ cambiarían si hay tubos. Por ejemplo, si se tratase de un tubo, como un agujero en una rosquilla, a continuación, la superficie del objeto sería topológicamente equivalente a la superficie de la dona, en cuyo caso $V-E+F=0$.
Cada tubo adicional podría disminuir el valor de $V-E+F$ por un monto adicional de $2$.
Ahora a las 3 dimensiones de la versión. Su "malla tetraédrica" sería todavía se llama una "triangulación", utilizando el topologists hábitos de cooptación de dimensiones inferiores de la terminología para aplicar incluso en las dimensiones superiores de las situaciones.
Si dejamos $C$ el número de células, y si todavía podemos contar el número de $V$ de los vértices, $E$ de los bordes, y $F$ de caras, entonces en este caso la característica de Euler toma la forma $V-E+F-C$. Todavía es un invariante topológico. Cualquier objeto que es topológicamente equivalente a un agradable y suave, redondo, sólido 3-dimensional de la bola ha característica de Euler $V-E+F-C=1$.
De nuevo, mi conjetura es que el objeto (suponiendo que no hay tubos) de hecho es topológicamente equivalente a un buen redondo liso sólidos en 3 dimensiones de la pelota y, por tanto,$V-E+F-C=1$.
