¿Por qué el producto Cauchy de dos series convergentes (pero no absolutamente) es convergente o indeterminado (pero no converge al infinito)?

Question

Es bien conocido que

el producto de Cauchy de dos absolutamente convergente la serie es absolutamente convergente.

Sin embargo, mi profesor agregado (sin dar una prueba) que si las series son convergentes (pero no absolutamente convergente), entonces el producto de Cauchy es convergente o irregular (es decir, indeterminado), pero no divergente a infinito.

¿Cómo se puede demostrar esta afirmación?

Answer 1

Podemos utilizar Abel del teorema de la prueba. Supongamos que las dos series de $\sum_{n=0}^\infty a_n$ $\sum_{n=0}^\infty b_n$ son condtionally, pero no absolutamente convergente. Para $\lvert x\rvert < 1$, podemos definir

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n\quad \text{and}\quad g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n x^n.$$

Por Abel el teorema, tenemos

$$\lim_{x\to 1^-} f(x) = \underbrace{\sum_{n=0}^\infty a_n}_A\quad\text{and}\quad \lim_{x\to 1^-} g(x) = \underbrace{\sum_{n=0}^\infty b_n}_B,$$

y por lo tanto, con $h(x) = f(x)\cdot g(x)$,

$$\lim_{x\to 1^-} h(x) = A\cdot B.$$

Los coeficientes en el Poder de expansión de la serie de $h$ son los términos de el producto de Cauchy de las dos series,

$$h(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n, ~ \text{ where } c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}.$$

Denotamos las sumas parciales de $\sum c_n$$s_n$, y definir

$$H(x) = \sum_{n=0}^\infty s_n x^n.$$

Suponiendo que tuvimos $s_n \to +\infty$, para cada $M \in \mathbb{R}^+$, hay un $N_M$ tal que $s_n \geqslant M$ todos los $n \geqslant N_M$. A continuación, para $0 < x < 1$ hemos

$$H(x) = \sum_{n < N_M} s_nx^n + \sum_{n=N_M}^\infty s_n x^n \geqslant \sum_{n < N_M} s_n x^n + \frac{x^{N_M}\cdot M}{1-x},$$

y por lo tanto

$$\liminf_{x\to 1^-} (1-x)H(x) \geqslant M.$$

Pero de establecimiento $s_{-1} = 0$ - hemos

$$h(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n = \sum_{n=0}^\infty (s_n -s_{n-1}) x^n = \sum_{n=0}^\infty s_n x^n - \sum_{n=1}^\infty s_{n-1}x^n = (1-x)H(x),$$

y para el supuesto de $s_n \to +\infty$ contradice el hecho de que

$$\lim_{x\to 1^-} h(x) = A\cdot B.$$