Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org Donde$f(\bigcap K_n)=\bigcap f(K_n)$ son compactos

Question

$f:X\rightarrow Y$ Es un mapa continuo entre los espacios métricos,$K_n$ son secuencias anidadas no vacías de subconjuntos compactos de$X$, entonces necesitamos mostrar el título anterior.

Por favor, dígame qué resultado debo aplicar aquí? Con respecto a mapa del cont y el sistema compacto Sé que la imagen del sistema compacto es compacta, alcanza límites, uniformemente continous etc. por favor ayuda. Así, podemos empezar tomando$y\in \bigcap f(K_n)$ y luego mostrar que también está en el lado izquierdo?

Answer 1

Puede tomar cualquier$x_n\in K_n$ tal que$f(x_n)=y$ y que tome una subsequencia convergente.

Answer 2

Dejar $y \in \bigcap f(K_n)$. Esto significa que hay$x_n$ para que$f(x_n) = y$ y$x_n \in K_n$ para todos$n$.

Si$\{x_n\}$ es finito, hemos terminado. Si es infinito, tiene un punto límite$x$ (¿por qué?). Utilice la continuidad de$f$ para encontrar$f(x)$ y concluir la prueba.