¿$1^{\frac{-i\ln 2}{2\pi}}$ Es igual a 2?

Question

Sólo por curiosidad, me gustaría saber si esta derivación es correcta o no.

Supongamos números complejos y escribamos$1 = e^{2\pi i n}$, para cualquier$n\in\mathbb{Z}$.

Entonces, por exponenciación obtenemos%.

Para mí, esto parece una gran contradicción. Cualquier poder de$$1^{\frac{-i\ln 2}{2\pi}}=e^{2\pi i n \cdot \frac{-i \ln 2}{2\pi}} = 2^n,$ debe ser igual a$ and thus for $, o? ¿Cuál es la captura aquí que no veo? En números complejos, la potencia de$, $ no tiene que ser igual a$1$? Gracias.

Answer 1

La regla$(a^b)^c=a^{bc}$ no es válida para números complejos.

Answer 2

Para$k \in \mathbb{Z}$$z \in \mathbb{C}$,

$$1^z = (e^{i2\pi k})^z = e^{i2\pi k \cdot z}$$

Si $z = x$ donde$x \in \mathbb{R}$, $1^z = e^{i2\pi k \cdot x}$ puede ser cualquier número en el complejo de la unidad de círculo. Tenga en cuenta que el $x$ es rotar el punto de $z=1$ alrededor del círculo.

Si $z = x + iy $ donde$x,y \in \mathbb{R}$, $1^z = e^{-y}e^{i2\pi k \cdot x}$ puede ser cualquier número en el plano complejo excepto el cero. De nuevo tenemos una rotación por $x$. Pero ahora la magnitud de la que puede asumir cualquier no-desaparición de valor, dependiendo de la $y$.

En pocas palabras, $1^z$ no siempre es igual a 1 cuando se trata con números complejos. Spooky! Usted puede estar interesado en tratar de descubrir qué tipo de $z$ da $1^z = 1$.

Answer 3

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