Encuentra el límite de$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}+...+\frac{(-1)^{n-1}}{2n}$ as$n\to\infty$

Question

Encuentre el límite de$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}+...+\frac{(-1)^{n-1}}{2n}$ as$n\to\infty$.

En la parte anterior de la pregunta me pidieron que probara que como$n\to\infty$$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\to log{2}$. Podría hacer esto considerando la integral de la función$f(x)=\frac{1}{x}$ de$(n+1)$ a$(2n+1)$ y de$(n)$ a$(2n)$ y luego usando la regla sandwich.

Supongo que debo usar el mismo método de alguna manera o este resultado anterior.

Answer 1

Tenga en cuenta que si$n$ es incluso, puede usar diferencias sucesivas para reescribir esta suma como $$ \ frac {1} {(n 1) (n 2)} \ frac {1} {(n 3 Aquí hay$n/2$ términos que están cada uno limitado por$1/n^2$, por lo que La suma total está limitada entre$0$ y$1/2n$. Si$n$ es impar, puede encontrar un límite similar.

Answer 2

Insinuación
Usted sabe que$$\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}k = -\ln 2$ $ Si$S_N$ son las sumas parciales, su suma es$$(-1)^{n-1} (S_{2n} - S_n)$ $ Ahora porque$S_n$ converge (a$-\ln2$), es un Cauchy secuencia. ¿Qué te dice sobre$$\lim_{n\to\infty} |S_{2n} - S_n| = \lim_{n\to\infty} \left|\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{(-1)^{k-n-1}}k \right| \qquad?$ $