¿Es un isométrico incrustación de un disco determinado por el límite?

Question

Supongamos que cortar un disco de una pieza plana de papel y, a continuación, manipular en tres dimensiones (plegado, curvado, etc.) Podemos determinar que el papel proviene de la posición de los límites del círculo?

Más formalmente, vamos a $\mathbb{D}$ ser la unidad de disco en el plano Euclidiano, considerada como una de Riemann colector.

Es cada isométrica de la incrustación de $\varphi\colon\mathbb{D}\to\mathbb{R}^3$ determinado por la restricción de $\varphi$ hasta el límite del círculo?

Es decir, si dos isométrica incrustaciones $\varphi_1,\varphi_2\colon \mathbb{D} \to \mathbb{R}^3$ está de acuerdo en el límite del círculo, deben ser iguales?

Nota: Aquí "isométrica incrustar" significa isométrica en el sentido de la geometría diferencial, es decir, un $C^1$ incrustación que conserva las longitudes de curvas.

Answer 1

La cuestión, como he dicho en comentarios a la respuesta por user72694, es muy sensible al grado de suavidad. En la de Jim pregunta, el mapa de $\varphi$ es sólo supone ser $C^1$. Voy a trabajar con los mapas de la unidad de la plaza de $I^2$ más que la unidad de disco, pero es irrelevante, ya que se puede empezar con un cuadro que contiene un disco en su interior. Recordemos que un $C^1$-mapa de $f: I^2\to R^3$ es corto si no aumenta la longitud de los vectores de tangentes. Un mapa es estrictamente corto si es estrictamente disminuye la longitud de cero los vectores de tangentes. Es muy fácil construir estrictamente corto mapas, por ejemplo, un mapa que es una dilatación por un factor de $<1$.

La clave teorema es:

Teorema (Nash-Kuiper). Cada corto $C^1$ incrustación $f: I^2\to R^3$ puede ser aproximada (en la topología de la convergencia uniforme) ( $C^1$ ) isométrica incrustaciones.

Véase, por ejemplo, este papel para una moderna prueba, el uso de Gromov la técnica del convexa de la integración.

Ahora, alterar el mapa original $f$ en un sub-cuadrado $Q \subset Int(I^2)$ un poco y ver que la aproximación de la construcción se puede realizar sin necesidad de cambiar la aproximación de mapas lejos del barrio de $Q$. (Si $f$ fue estrictamente un breve mapa, entonces la alteración de $f$ $Q$ con otro estrictamente corto mapa es fácil, ya que estrictamente corto mapas forman un conjunto abierto en $C^1$-topología.)

El inconveniente de esta respuesta es que para comprobar que funciona, usted tendría que ir a través de una prueba de la N-K teorema, pero si usted está interesado en $C^1$-isométrica incrustaciones, tendría que leer una prueba de todos modos.

Answer 2

Una de Riemann-isométrico de la involucración de un intervalo o un triángulo en $\mathbb{R}^3$ se llama fuertemente isométrica si el ambiente distancias coinciden con la de Riemann distancias. Observe que cada una de Riemann-isométrico de la involucración de la plana disco en $\mathbb{R}^3$ tiene la siguiente propiedad:

Cada punto del disco se encuentra en una cuerda que une dos puntos de la frontera del círculo de $S^1$, o en un triángulo inscrito en $S^1$, de tal manera que el acorde/triángulo está incrustada fuertemente isométricamente.

Pero el patrón de la fuerza isométrica imbeddings se pueden leer en el límite de puntos, ya que el ambiente de la distancia será menor o igual que el valor intrínseco de la distancia, con la igualdad correspondiente para el caso de una fuerza isométrica incrustadas.

La singularidad de la de Riemann-isométrico de la involucración con el disco ahora se sigue del hecho de que una fuerza isométrica involucración de un intervalo o un (plana) triángulo está determinada únicamente por la imagen de los puntos de su contorno.

Answer 3

Está claro que la imagen de $\varphi_i$ está en un plano de $\mathbb{R}^3$, desde el vertexs de un tetraedro en $\mathbb{R}^3$ no puede ser isomérica incrustado en $\mathbb{R}^2$$\varphi_i^{-1}$. Por otra parte, las imágenes de $\varphi_1$ $\varphi_2$ debe estar en el mismo plano, ya que de acuerdo sobre el límite del círculo. Por lo tanto, el problema se puede reducir a isomérica incrustaciones de$\mathbb{D}$$\mathbb{R}^2$.

La elección de tres puntos diferentes de la imagen de la frontera que no son colineales. Se debe determinar la posición de cada punto de la imagen de $\mathbb{D}$. Por lo tanto, creo que el argumento es correcto.