Prueba de valores propios nilpotentes

Question

Demuestre que una matriz con valores propios cero debe ser nilpotente.

¿Cómo podré demostrar esto?

Answer 1

Tenemos que asumir que estamos considerando matrices complejas. Sobre los reales de la afirmación de que no es cierto, como en el ejemplo $$ \begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0 \end{bmatrix} $$ muestra.

Más de $\mathbb C$, uno puede hacer la descomposición de Schur, donde$A=VTV^*$, $V$ unitario e $T$ triangular superior. Desde la diagonal de $T$ tiene para contener los autovalores de a $A$, tiene que ser cero. Y es un ejercicio fácil que si $T$ $n\times n$ triangular superior con diagonal cero,$T^n=0$. Por lo $A^n=(VTV^*)^n=VT^nV^*=0$. Por lo $A$ es nilpotent.

Answer 2

Sugerencia:$A = P^{-1}DP$ donde$D$ es triangular superior. ¿Cuáles son las entradas diagonales de$D$? Si$A$ es$n\times n$, ¿qué es$A^n$?

Answer 3

Sugerencia: Mire el polinomio característico, luego use Cayley-Hamilton.

Answer 4

El teorema de Cayley-Hamilton dice que una transformación lineal (equivalentemente, por supuesto, su matriz) satisface su propio polinomio característico. ¿Cuál es el polinomio característico de una matriz con valores propios cero?

Answer 5

Si usted ha aprendido la triangularización del schur (o la descomposición), observe que las matrices con todos los autovalores como cero son unitarily similares a las matrices triangulares superiores "terminantes". Ahora vea que matrices triangulares estrictamente superiores son siempre nilpotentes. Ahora mira el contrario.