Cálculo del límite en partes. ¿Por qué es posible?

Question

Permite$f$, función continua, diferenciable en$x=1$ y$f(1)>0$.

Considere la siguiente ecuación:

ps

Mi pregunta es: ¿Por qué puede evaluar la expresión azul en el LHS como$$\lim \limits_{x\to 1} \left(\frac{\color{Blue}{f(x)-f(1)}(x-1)}{\color{Blue}{(x-1)}f(1)}\right)^\frac{1}{\log x} = \lim \limits_{x\to 1} \left( \frac{\color {Blue}{f'(1)}(x-1)}{f(1)} \right)^\frac{1}{\log x}$ antes de tomar el límite? Por otra parte, toda la expresión se activa con$f'(1)$

Me parece como reclamar$\frac{1}{\log x}$ $

Entonces, ¿qué está haciendo la primera válida mientras que la segunda es una tontería.

Answer 1

Esto:$$\lim_{x\rightarrow\infty} f(x)^{g(x)}=(\lim_{x\rightarrow\infty}f(x))^{\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)}$ $ sólo si ambos límites existen (en el sentido estricto)! En el segundo ejemplo, el límite exterior$\lim_{n\rightarrow\infty}n=\infty$, por lo tanto, no existe (en el sentido estricto). En su primer ejemplo creo que debería ser$$\frac{\textbf ( f(x)-f(1)\textbf{)}(x-1)}{(x-1)f(1)}$ $ dentro de los corchetes ..

Answer 2

Tal vez esto no es una forma satisfactoria para ver que la igualdad tiene (y espero que la siguiente es correcto), pero:

Deje $$y = \left(\frac{\color{Blue}{[f(x)-f(1)]}(x-1)}{\color{Blue}{(x-1)}f(1)}\right)^\frac{1}{\ln x},$$

$$ \ln(y) = \frac{1}{\ln(x)}\ln\left(\frac{\color{Blue}{[f(x)-f(1)]}(x-1)}{\color{Blue}{(x-1)}f(1)}\right). $$ Ahora $$ \lim_{x\to 1} \left(\frac{\color{Blue}{[f(x)-f(1)]}(x-1)}{\color{Blue}{(x-1)}f(1)}\right) = \lim_{x\to 1} \frac{\color{Blue}{[f(x)-f(1)]}}{\color{Blue}{(x-1)}}\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{f(1)} = 0, $$ así $$ \lim_{x\to 1} \ln\left(\frac{\color{Blue}{[f(x)-f(1)]}(x-1)}{\color{Blue}{(x-1)}f(1)}\right) = -\infty. $$ Por lo tanto $$ \lim_{x\to 1} \ln(y) = -\infty. $$ (Que, naturalmente, podría convencerse de que la mano derecha del límite y de la mano izquierda de límite, de hecho, ambos son iguales a este.

Esto demuestra que el límite de la izquierda es $0$.

Del mismo modo $$ \lim_{x\to 1}\left( \frac{\color {Blue}{f'(1)}(x-1)}{f(1)} \right)^\frac{1}{\ln x} = 0. $$