¿Es la suma de factorials de primeros$n$ de números naturales nunca un cubo perfecto?

Question

Si$S_n = 1! + 2! + 3! + \dots + n!$, hay un término en$S_n$ que es un cubo perfecto o de$S_1$,% #%,$S_2$ existe Cualquier término que sea un cubo perfecto, donde$S_3$ es cualquier número natural.

Answer 1

Todos los factorials por encima de$8!$ tienen un factor de$27$ y$S_8 \equiv 9 \pmod {27}$ Como no hay solución para$k^3 \equiv 9 \pmod {27}$, no podemos tener$n \ge 9$. Luego, solo verificando$n$ hasta$8$, solo$S_1=1$ es un cubo perfecto.