Depende del punto fijo concreto que utilices.
En primer lugar, en el lado negativo, afirmo que para algunos puntos fijos y suficientemente grandes $k$ La respuesta es no, pueden ser incoherentes.
Por ejemplo, dejemos que $\psi$ ser cualquier afirmación que pueda ser refutada por la AP en muchos menos que $k$ bits, como la declaración $1\neq 1$ . En este caso, PA demuestra que $\psi$ es falso, y también demuestra que $\text{PA}+\psi$ demuestra una contradicción, y para un tamaño suficientemente grande $k$ esta prueba utilizará menos de $k$ bits. Así que PA demuestra que $\psi$ y $\text{Con}(\text{PA}+\psi,k)$ son equivalentes, ambos son falsos. Por tanto, es uno de los puntos fijos cuya existencia se afirma en el lema del punto fijo. Pero no es consistente.
Mientras tanto, en el lado positivo, supongamos que la AP es coherente. Dejemos que $\psi$ sea la frase $1=1$ que es demostrable en PA y consistente con PA. Para cualquier $k$ se deduce que no se podrá demostrar una contradicción a partir de $\text{PA}+\psi$ en menos de $k$ bits (ya que asumimos que PA es consistente), y además PA probará esto para cada $k$ ya que puede anotar el hecho específicamente sobre cada una de las pruebas finitas. Así que PA demuestra que $\psi$ es cierto y también que $\text{Con}(\text{PA}+\psi,k)$ es verdadera, y por lo tanto es un punto fijo. Y para este punto fijo, tenemos consistencia.
Pensando un poco más en ello, me he dado cuenta de que lo que ocurre es lo siguiente:
Teorema. Si la AP demuestra o refuta $\psi$ , entonces para cualquier tamaño suficientemente grande de $k$ , PA demuestra que $\psi$ equivale a $\text{Con}(\text{PA}+\psi,k)$ y, por lo tanto, todos los enunciados de este tipo son puntos fijos.
Prueba. Si PA refuta $\psi$ , entonces esa prueba tiene cierta longitud, y así para $k$ suficientemente grande, PA también demuestra que PA+ $\psi$ es inconsistente, y por lo tanto PA demuestra $\psi\leftrightarrow \text{Con}(\text{PA}+\psi,k)$ ya que se ha demostrado que ambas partes son falsas.
Si la AP demuestra $\psi$ y sin pérdida es consistente, entonces para cualquier $k$ no habrá prueba de una contradicción de PA+ $\psi$ utilizando menos de $k$ bits, y PA lo demostrará verificando cada una de esas pruebas. Así que en este caso, PA demuestra $\psi\leftrightarrow \text{Con}(\text{PA}+\psi,k)$ .
Así que en cualquier caso, $\psi$ es un punto fijo. QED
Actualización. Aunque uno podría sentirse decepcionado por los puntos fijos proporcionados por el teorema anterior, ahora me he dado cuenta de que todos los puntos fijos son exactamente así.
Teorema. Lo siguiente es equivalente para cualquier frase $\psi$ :
- $\text{PA}\vdash\psi\leftrightarrow\text{Con}(\text{PA}+\psi,k)$ para algunos $k$ .
- $\text{PA}\vdash\psi\leftrightarrow\text{Con}(\text{PA}+\psi,k)$ para todo lo que sea suficientemente grande $k$ .
- $\psi$ es demostrable o refutable en AP.
Prueba. Ya he demostrado que si $\psi$ es demostrable o refutable, entonces $2$ se mantiene, y esto implica $1$ . A la inversa, supongamos que $1$ retenciones. Como sólo hay un número finito de pruebas posibles utilizando $k$ como máximo $k$ bits, se deduce que para cualquier $k$ que la AP demuestra o refuta $\text{Con}(\text{PA}+\psi,k)$ simplemente inspeccionando las pruebas finitas. Así que PA demuestra o refuta $\psi$ ya que $\psi$ es equivalente a esa declaración. Así que las tres afirmaciones son equivalentes. QED
En particular, no hay puntos fijos que sean independientes de PA.
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Tal vez me estoy perdiendo algo, pero si la AP es consistente, entonces para cada individuo $k\in\mathbb{N}$ PA demuestra que "no hay ninguna contradicción en mí de la longitud $<k$ "(ya que sólo hay un número finito de pruebas de longitud $<k$ en primer lugar, y PA puede enumerarlas y comprobar que cada una no es una prueba de $0=1$ ). Entonces, ¿no es demostrable en ZFC que PA y $U_k$ ¿son equivalentes?
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Noé, la teoría $PA + Con(PA, k)$ es consistente y equivalente a PA, pero no estoy tan seguro de $U_k = PA + Con(U_k, k)$ .
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Tal vez la longitud de la codificación de $\text{Con}(U_k,k)$ asuntos. Si utilizamos una codificación unaria para $k$ en la fórmula, entonces $\vert \text{Con}(U_k,k) \vert \gt k$ y creo que la consistencia se sigue porque el nuevo axioma no puede ser utilizado en ninguna prueba más corta que ella misma (por lo que es equivalente a $\text{Con}(PA,k)$ que es demostrable en PA, etc.).
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PA es una familia infinita de axiomas.El teorema del punto fijo proporciona un punto fijo para una sola fórmula. No veo cómo puedes usar esto para obtener tus axiomas $U_k$ ?
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Rob, $\text{Con}(U_k,k)$ es una frase que codifica "no hay prueba de una contradicción más corta que $k$ en la teoría cuyos axiomas son los axiomas de PA más esta frase", creo que es posible construir esto, aunque no de forma única. No veo el problema de que PA sea infinito, lo único que necesitamos es una forma de saber si una frase es un axioma.
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@RobArthan El teorema del punto fijo es sólo se aplica a una única fórmula aquí. En concreto, hay una fórmula $\varphi(x)$ afirmando que $x$ es el número de Goedel de una frase que, cuando se añade a PA, da lugar a un $k$ -teoría coherente. Por el teorema del punto fijo, obtenemos una sentencia $\psi$ con número de Goedel $n$ tal que PA demuestra $\psi\iff\varphi(n)$ la teoría $U_k$ es sólo PA+ $\psi$ .
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@NoahSchweber: &@Dan: gracias por las aclaraciones. Creo que habría quedado más claro si Dan hubiera escrito $U_k = Con(PA + U_k, k)$ en lugar de hacer que parezca que $U_k$ fuera una sentencia que implica cada axioma de $PA$ .