Intento de demostración de un teorema de mapeo abierto para grupos de Lie

Question

El clásico teorema del mapa abierto para los espacios de Banach dice que si $T:X \to Y$ es un mapa lineal continuo suryente, entonces es abierto.

He tratado de "adaptar" esencialmente la prueba para los grupos de Lie:

Dejemos que $G,H$ sean grupos de Lie conectados (incrustados en $\mathbb R^n$ (hasta ahora he utilizado la segunda contabilidad y la completitud). Si $\phi: G \to H$ es un homomorfismo suryente de grupos de Lie, entonces la imagen de un grupo abierto abierto $U$ de la identidad en $G$ es de nuevo una vecindad con interior no vacío sobre $1 \in H$ .

Elige algún barrio $U$ de $1 \in G$ . Queremos recoger algún balón abierto $V$ en $U$ para que el cierre de $V$ es compacto y está contenido en $U$ . Por lo tanto,

$$G=\{x V \mid x \in G\}$$

pero podemos elegir un número contable de tales $x \in G$ . Podemos llamar a esto colección $\{x_n\}$ y considerar la imagen de $G$ en $\phi$ , que es todo $H$ . En particular, $H:=\{\phi(x_n \overline{V}) \mid n \in \mathbb N\}$ . Pero como $\phi$ es un homomorfismo, esto es lo mismo que considerar lo mismo que considerar un montón de $\phi(x_n)\phi(\overline{V})$ cuyas imágenes son compactas y por tanto cerradas. Por la categoría Baire, uno de estos tipos tiene el interior vacío, digamos $\phi(x_n)\phi(\overline{V})$ . Pero entonces $\phi(\overline{V})$ tiene interior no vacío, ya que la multiplicación por un elemento es un homeomorfismo. Pero entonces $\phi(U)$ tiene un interior no vacío.

A partir de aquí, se puede terminar mostrando primero que esto implica que hay una base $\mathcal U$ sobre el origen para que la imagen de cada elemento contenga la identidad en $H$ lo cual es suficiente para demostrar el teorema principal, ya que entonces podemos utilizar la propiedad de homomorfismo para demostrar que para todo conjunto abierto $W$ sobre $w \in G$ la imagen $f(w) \in \mathrm{Int}(W)$ , demostrando el teorema.

1. ¿Mi prueba es correcta?

2. He visto una referencia "Un teorema de mapeo abierto para grupos topológicos" . pero esto finalmente sólo redirige a una fuente que no puedo encontrar. ¿Hay una forma mejor de mostrar este teorema? No estoy buscando la máxima generalidad (hipótesis más débil) todavía, sólo para entender por qué este teorema podría ser cierto.

Una respuesta suficiente, a mis ojos, es un argumento convincente de por qué mi prueba falla (incluyendo algo del tipo "¿es esta idea recuperable?") o alguna afirmación de que es realmente correcta.

Answer 1

Cuando se tiene una acción de un grupo topológico $K$ sobre un espacio $X$ el cociente $X \to X/K$ es un mapa abierto. Esto es muy fácil de demostrar.

Ahora dejemos que $K$ sea el núcleo de su mapa suryectivo $\phi \colon G \to H$ . El grupo $K$ actúa sobre $G$ por multiplicación a la derecha y el cociente es $G/K$ . El mapa $\phi$ factores a través de un homomorfismo de grupo $\bar{\phi} \colon G/K \to H$ que es biyectiva y continua. Si este mapa es abierto (por lo tanto un isomorfismo de grupos topológicos), entonces $\phi$ está abierto. Así que otra forma de ver tu pregunta es, ¿se cumple el primer teorema de isomorfismo para los grupos de Lie conectados?

La respuesta es sí y una prueba es la siguiente:

1) El cociente $G \to G/K$ es una inmersión.

2) Si $\phi$ es suave, también lo es $\bar{\phi}$ .

3) Un homomorfismo inyectivo de grupos de Lie debe ser una inmersión.

4) El mapa $\bar{\phi}$ es una inmersión y una inmersión, por lo que es un difeomorfismo local, por tanto un difeomorfismo y por tanto un isomorfismo de grupos topológicos.

Esta es esencialmente la prueba del Teorema 17.4 en

https://www.staff.science.uu.nl/~ban00101/lie2016/lie2010.pdf

No he podido ver ningún fallo en su prueba. No sé si te parece mejor esta forma, pero me pareció más intuitivo pensar en ello en términos del primer teorema de isomorfismo (que no se cumple en general para los grupos topológicos generales).