¿Es cierto que los diferentes hiperbólicos $n$ -espacios $\mathbb{H}^n$ no son cuasi-isométrico ¿a los demás? ¿Cómo ver esto?
Por un momento pensé que el grupo libre $F_n$ era casi isométrica a $\mathbb{H}^n$ lo que implicaría (ya que dos árboles regulares cualesquiera son cuasi-isométricos) que $\mathbb{H}^n \approx F_n \approx F_m \approx \mathbb{H}^m$ pero en retrospectiva no tengo una buena razón para pensar $F_n$ tiene algo que ver con $\mathbb{H}^n$ .
Una invariante útil para $\delta$ -espacios hiperbólicos es Límite de Gromov que es la cuasi-isometría de los espacios hiperbólicos inducen homeomorfismos en la frontera, por lo que si tienen diferentes tipos de homeomorfismo de frontera entonces no son cuasi-isométricos. El límite puede pensarse como clases de equivalencia de rayos, donde los rayos son equivalentes si eventualmente permanecen a una distancia acotada entre sí. De esta definición se deduce que los límites de $\delta$ -Los espacios hiperbólicos coinciden con el límite estándar que se pondría en la hiperbólica $n$ -espacio.
Hiperbólica $n$ -espacio (definido para $n>1$ ) tiene $S^{n-1}$ como el límite de Gromov, y se pueden diferenciar las esferas mediante un argumento de homología si no se confía en que las esferas de distinta dimensión no son homeomórficas. Así que no son cuasi-isométricas entre sí.
No es difícil ver que los grupos libres finitamente generados, en 2 o más generadores, tendrán un conjunto de Cantor como su límite, que no es homeomorfo a las esferas (ni siquiera es conectado), por lo que los grupos libres no son cuasi-isométricos a cualquier hiperbólica $n$ -espacios.
Como se discute en los comentarios, se podría pensar en la línea real como un espacio hiperbólico de 1 dimensión, en cuyo caso el grupo cíclico libre es cuasi isométrico al espacio hiperbólico de 1 dimensión. Nótese que el grupo cíclico libre tiene 2 puntos en la frontera, que es una esfera cero y no es homeomorfo al conjunto cantor o a las esferas superiores, por lo que no es cuasi isométrico a otros grupos libres.
En muchos tratamientos, se considera que la línea real es $\mathbb{H}^1$ El espacio hiperbólico unidimensional. Por ejemplo, si se utiliza el modelo del hiperboloide con grupo de isometría $SO(n,1)$ como modelo para $\mathbb{H}^n$ entonces hay que admitir que cuando $n=1$ esto produce un espacio isométrico a la línea real. Esta es una de esas coincidencias de "baja dimensión", supongo... es.wikipedia.org/wiki/Isomorfismo_excepcional
@LeeMosher Se me había pasado por la cabeza que algunos lo hayan enfocado así, aunque creo que no lo he visto. Yo lo estaba pensando como colector de Riemannien de curvatura constante -1, pero supongo que se puede tomar como una coincidencia que coincidan en dimensiones superiores
Existe una noción de "dimensión asintótica", definida para todos los espacios métricos, que para $\mathbb{H}^n$ (o la euclidiana $n$ -espacio) es igual a $n$ ( $*$ ). Es monótona bajo incrustaciones gruesas. En particular, $\mathbb{H}^n$ no se incrusta de forma grosera en $\mathbb{H}^m$ si $n>m$ .
Este último hecho no se deduce del límite de Gromov, porque este último no es functorial para incrustaciones gruesas (de este último se obtiene una afirmación más débil, ya que de todos modos es functorial para incrustaciones QI: $\mathbb{H}^n$ se incrusta cuasi-isométricamente en $\mathbb{H}^m$ para $n>m$ (y en particular no son cuasi-isométricos, como menciona Paul).
También, $\mathbb{H}^n$ , $n\ge 2$ no se incrusta groseramente en el grupo libre: esto se deduce de la dimensión asintótica (que es 1 para el grupo libre). Una forma más sencilla de ver que no son cuasi-isométricos consiste en utilizar que el espacio de extremos es un espacio de Cantor en el primer caso y un punto para $\mathbb{H}^n$ . Dado que el espacio de los extremos es functorial para las incrustaciones gruesas, esto probablemente puede ayudar a mostrar que $\mathbb{H}^n$ no se incrusta toscamente en un grupo libre, pero no parece seguirse de un argumento puramente formal.
El límite puede ser útil más allá de su topología. Por ejemplo, los espacios simétricos de curvatura negativa $\mathbb{H}^{2n}$ y $\mathbb{H}^n(\mathbf{C})$ no son cuasi-isométricas, aunque tienen el mismo número de extremos (1), la misma dimensión asintótica ( $2n$ ) y los límites homeomórficos de Gromov (a $(2n-1$ )-esfera). La cuestión es que sus límites de Gromov no son cuasi-simétricamente equivalentes.
( $*$ ) Sólo puedo dar referencias, no es obvio. En el capítulo 10 del libro de Buyalo-Schroeder, se demuestra que la dimensión asintótica de un $n$ -de Hadamard es $\ge n$ . Esto se aplica tanto al espacio euclidiano como al hiperbólico real.
En el mismo libro, sólo proporcionan límites superiores no nítidos. Pero Higes-Peng (enlace arXiv) , Dimensión de Assouad-Nagata de grupos de Lie conectados. Math. Z. 273 (2013), no. 1-2, 283-302. demostró que la dimensión asintótica Assouad-Nagata (aAN) de un grupo de Lie conectado $G$ con subgrupo compacto máximo es $\dim(G/K)$ esto se aplica en particular a la parte conectada del grupo de isometría de cualquier $n$ -de la dimensión isometría-homogénea de la variedad riemanniana para demostrar que su dimensión aAN es $\le n$ . Es trivial desde la definición que la dimensión aAN es un límite superior para la dimensión asintótica.
Combinando, la dimensión asintótica (y la dimensión aAN) de cualquier colector homogéneo de Hadamard es $n$ .
Gracias, es interesante. En realidad, sé un poco sobre la dimensión asintótica, en la medida en que conozco la definición y entiendo algunos ejemplos básicos como $\mathrm{asymptoticdim}(\mathbb{Z}^n) = n$ y $\mathrm{asymptoticdim}(\text{tree}) = 1$ pero no mucho más allá de eso. ¿Qué tan difícil es ver que $\mathrm{asymptoticdim}(\mathbb{H}^n) = n$ ?
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