Me han dicho es posible construir una función continua $f\colon [0,1]\to \mathbb{R}$ tal que $f^{-1}(x)$ es o bien vacío o tiene cardinalidad $\aleph_0$ cada $x\in \mathbb{R}$. Has pensado en esto durante un tiempo, pero no se parece a un ejemplo. ¿Alguien sabe esa construcción?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Este parece ser un caso especial de el resultado en el papel:
Kwiatkowska, A. Funciones continuas tomando cada valor de un número dado de veces. Acta De Matemáticas. Hungar. 121 (2008), no. 3, 229-242. MathSciNet | arXiv
El indicatrix de una función de $F$ $f(y) := |F^{-1}(y)|$ donde $f$ toma valores en el conjunto $\{0, 1, 2, \dots, \omega, \mathfrak{c}\}$ (donde $\omega$ es el $\aleph_0$). Kwiatkowska del papel da condiciones necesarias y suficientes para que una función $f$ a ser el indicatrix de alguna función continua $F : [0,1] \to [0,1]$. Parece que $f \equiv \omega$ satisface esas condiciones.
He rozado la prueba y parece ser constructivo, por lo que debe ser posible utilizar explícitamente producir la correspondiente función de $F$, pero no me tome el tiempo para hacer esto. Sería interesante ver lo que parece.
Matthew Scouten
Puntos
2518
Voy a definir una secuencia convergente de funciones $f_n: [0,1] \to [0,1]$, que será un modelo lineal por tramos, comenzando con $f_0(x)=x$. Para cada una de las $k \in \{0, 1, \ldots, 2^n - 1\}$ a un segmento particular de la gráfica de $f_n$, se $L_k$, va a ir de$y = k/2^n$$y = (k+1)/2^n$. Para $f_{n+1}$ reemplazamos cada una de las $L_k$ por un "zig-zag" con los mismos puntos de inicio y finalización, el primero en ir de$y=k/2^n$$(k+1/2)/2^n$, luego de vuelta hacia a $k/2^n$ $(k+1/2)/2^n$ y, a continuación, $(k+1)/2^n$ $(k+1/2)/2^n$ e a $(k+1)/2^n$. El distinguido segmentos de la gráfica de $f_{n+1}$ correspondiente a los intervalos de $[k/2^n, (k+1/2)/2^n]$ $[(k+1/2)/2^n, (k+1)/2^n]$ son los segmentos de más a la derecha de este zigzag con $y$ en los intervalos. Por ejemplo, aquí está la gráfica de $f_2$, con los cuatro distinguidos segmentos en rojo:
A continuación, $f_n$ converge uniformemente a una función continua $f$ que tiene las propiedades deseadas.
Julián Aguirre
Puntos
42725
Este es un ejemplo más o menos explícito de una función que satisface una condición similar, donde se sustituye $\aleph_0$ $\mathfrak{c}$.
Que $\gamma\colon[0,1]\to[0,1]\times[0,1]$ ser un espacio de presentación de la curva, es decir, un continuo función tal que $\gamma([0,1])=[0,1]\times[0,1]$ y que $\gamma(t)=(\alpha(t),\beta(t))$. Entonces $\alpha\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ es continua y es de la cardinalidad de $\alpha^{-1}(x)$ $\mathfrak{c}$ % todos $x\in[0,1]$.
