pregunta rápida sobre el límite de una función de dos variables como $x,y\to\infty$

Question

$$\lim_{x,y\to\infty} \frac{x-y}{x^2+y^2}\tag{$\estrella de$}$$

Estoy acostumbrado a hacer la siguiente sustitución cuando veo a $``x^2+y^2"$ y $x,y\to 0$

$$x^2+y^2 = r^2,\;x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta$$

conecte estos valores en la función y calcular el límite de $r\to0$ sé que puedo hacer eso porque la única manera de $x$ & $y$ para acercarse a $0$ $r$ aproxima $0.$

No puedo hacer esta sustitución cada vez, porque si por ejemplo: $(x,y)\to(-1,7)$ no hay ningún valor $u$ que me garantiza si $r\to u$ $(x,y)\to(-1,7).$

pero aquí desde $x,y\to\infty$ creo que, lógicamente, este fenómeno sólo puede suceder si $r\to\infty$.

Así computing $(\star)$ es la misma que la informática esta :

$$\lim_{r\to\infty} \frac{r\cos\theta-r\sin\theta}{r^2} =\lim_{r\to\infty} \frac{\cos\theta\sin\theta}{r}=0.$$

Estoy 90% seguro de que lo que he hecho es correcto, pero todavía quiero una confirmación y, si es posible mostrar otras maneras de calcular este límite.

Lo siento si esta pregunta suena un poco tonto, pero aún así estoy de nuevo para cálculo multivariable y hoy es mi primera vez tratando con MVC límites.

Gracias !

Answer 1

Otros pueden añadir y/o correcta, pero no estoy seguro de si se puede hacer la polar truco. Si $x$ $y$ tienden a infinito, entonces claramente $r \to \infty$. Pero si usted tiene $r \to \infty$, entonces usted no necesariamente tiene $x$ e $y$ hasta el infinito, ya que, por ejemplo: $x \to \infty$ $y \to c$ (constante) llevará también a $r \to \infty$.

y si es posible mostrar otras maneras de calcular este límite.

Reescribir: $$\left| \frac{x-y}{x^2+y^2} \right| =\left| \frac{x}{x^2+y^2}- \frac{y}{x^2+y^2} \right| \le \left| \frac{x}{x^2+y^2}\right|+ \left|\frac{y}{x^2+y^2} \right|$$ Ahora: $$\left| \frac{x}{x^2+y^2} \right| \le \left| \frac{x}{x^2} \right| = \left| \frac{1}{x} \right| \to 0 \quad\mbox{ and }\quad \left| \frac{y}{x^2+y^2} \right| \le \left| \frac{y}{y^2} \right| = \left| \frac{1}{y} \right| \to 0$$ Alternativamente, si usted se siente más cómodo con los límites de a $(0,0)$, sustituto $\left( x,y \right) \to \left( \tfrac{1}{u},\tfrac{1}{v} \right)$ y tomar el límite de $(u,v) \to (0^+,0^+)$ y podría seguir con su clásica polar de sustitución.

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Con ninguna de las otras respuestas, así que ahora, voy a añadir este ejemplo: considere el $f(x,y)=x+y$, entonces claramente: $$\lim_{(x,y)\to (+\infty,+\infty)} \bigl( x+y \bigr) = +\infty$$ Sin embargo, el cambio a coordenadas polares, obtenemos: $$f(r,\theta) = r \left( \cos\theta + \sin\theta \right)$$ Ahora simplemente tomar $r \to +\infty$, el límite: $$\lim_{r \to +\infty} \bigl( r \left( \cos\theta + \sin\theta \right) \bigr)$$ depende de a $\theta$ desde $\cos\theta + \sin\theta$ puede ser positivo, negativo o cero. Esto tiene sentido puesto que la fijación de $\theta$ a un valor fuera del intervalo de $(0,\tfrac{\pi}{2})$ no correspondan a $(x,y)\to (+\infty,+\infty)$.

Answer 2

"pero aquí desde $x,y\to \infty$ creo que lógicamente este fenómeno sólo puede suceder si $r\to \infty.$" la definición de $x,y\to \infty,$ que nos, no se han dado es probablemente exactamente lo mismo que $r\to \infty.$ vamos a suponer esto. Ha llegado correctamente a

$$f(r\cos t, r \sin t) = \frac{\cos t - \sin t}{r}.$$

Esto conduce a

$$0\le |f(r\cos t, r \sin t)| = \frac{|\cos t - \sin t |}{r} \le \frac{|\cos t| + |\sin t|}{r} \le \frac{1 +1}{r} = \frac{2}{r}\to 0.$$

Así $|f(r\cos t, r \sin t)|\to 0,$ que es lo mismo que decir $f(r\cos t, r \sin t)\to 0.$