Tamaño de una serie convergente restringida a números primos

Question

Deje $(a_n)_{n=1}^\infty$ ser una disminución de la secuencia de los números reales positivos tales que $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge. Estoy interesado en la suma de $\sum_{p}a_p$ donde $p$ rangos de los números primos. Este subsum obviamente converge, pero estoy interesado en cómo rápidamente converge. Más precisamente, me gustaría saber qué puedo decir acerca de la talla asintótica de $R(x):=\sum_{p\geq x}a_p$. Debido a $\sum_{n\geq x}a_n=o(1)$, parece como si el debemos de tener $R(x)=o\left(\frac{1}{\log x}\right)$. De hecho, me gustaría ser capaz de demostrar que $$\sum_{m=1}^\infty \frac{R(m)}{m}$$ converge. No estoy seguro de si esto es cierto, sin embargo. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Lo que necesita es que el $\pi(x) \sim \sum_{n < x} \frac{1}{\ln n}$ por decir que desde $a_n > 0$ y no aumenta, entonces el $\sum_{p > x} a_p \sim \sum_{n > x} \frac{a_n}{\ln n}$.

Resumen por partes: $$\sum_{p > x} a_p = \sum_{n > x} a_n 1_{n \in P} = \sum_{n > x} \pi(n) (a_n-a_{n+1}) =\sum_{n > x} ((1+o(1))\sum_{k < n} \frac{1}{\ln k}) (a_n-a_{n+1}) \\= \sum_{n > x} (\frac{1}{\ln n}+ o(\frac{1}{\ln n})) a_n =(\sum_{n > x} \frac{a_n}{\ln n})(1+o(1)) donde significa que algunos de esos $o(1)$ $n \to \infty$, otros como $x \to \infty$ (uso que $a_n > 0$ y aumento de límite anterior en el término de este último)