¿Si una medida en $\Bbb R^n$ es plana, el espacio es globalmente isométrico al espacio euclidiano?

Question

Deje $g$ ser una métrica arbitraria de la firma en $\Bbb R^n$. Si el tensor de Riemann de $g$ desaparece de la misma manera, hay una diffeomorphism $f:\Bbb R^n\to\Bbb R^n$ $g=f^*e$ donde $e$ es el estándar métrico con la misma firma como $g$?

En el caso de Riemann, asumiendo $(\Bbb R^n,g)$ es completa, esto es bien conocido a partir de la clasificación del espacio de formas. Yo era incapaz de demostrar que $(\Bbb R^n,g)$ es siempre completa en el caso de Riemann, y no sé si es verdad o no. También sé que esto siempre es cierto en un sentido, pero estoy buscando un global de isometría.

Answer 1

Escoge cualquier diffeomorphism $\phi$ $\Bbb R^n$ % apropiado subconjunto abierto (necesariamente simplemente conectado) $U \subset \Bbb R^n$. (Para concreto, podríamos tomar $$U := (-1, 1)^n, \qquad \phi : (x_1, \ldots, x_n) \mapsto (\tanh x_1, \ldots, \tanh x_n)\textrm{.)}$$ Then, the pullback $\phi^* (e \vert_U)$ is a flat but incomplete metric on $\Bbb R ^ n $, and in particular it is not globally isometric to $(\Bbb R^n, e)$.