Calcular $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x}{1+x^2}dx$ ¿Qué hay de malo en esto?

Question

Evaluar la integral $$\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{x}{1+x^2}dx .$$

Enfoque intuitivo

Como ves, es una función impar, y podemos decir que el valor de la integral es $0$ porque su punto simétrico es $0$ en signo contrario el uno del otro, y creo que $0$ es el punto medio de $(-\infty,\infty)$ .

Solución (errónea)

Es una integral impropia y vamos a cambiar su forma:

$$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{x}{1+x^2}dx=\displaystyle\int_{-a}^{+a}\dfrac{x}{1+x^2}dx=\lim_\limits{a\rightarrow \infty}\left[\dfrac{1}{2}\ln|x^2+1|\right]^{^{a}}_{_{-a}}=\lim\limits_{a\rightarrow \infty}\dfrac{1}{2}[0]=0$$

Lo he comprobado en Wolfram, pero dice que esta integral no está definida. ¿Por qué no podemos calcularla simplemente? No hay puntos impropios y es una función muy sencilla. ¿Cuál es el problema? ¿Qué me he perdido?

Answer 1

La cuestión es que, para que esta integral impropia exista (en el sentido de Riemann), habría que demostrar que los límites $$ \lim_{M,N\to+\infty}\int_{-N}^{M}\frac{x}{1+x^2}dx $$ existen por separado en $M$ y $N$ . Sin embargo, esto es falso porque $$ \int_{-N}^M \frac{x}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}\log\frac{1+M^2}{1+N^2}\xrightarrow[M\to+\infty]{N=\text{ fixed}}+\infty. $$ Para que la integral exista en el sentido de Lebesgue, es necesario tener primero el control de las partes positivas y negativas por separado, es decir $$ \int_{\mathbb R}\frac{x}{1+x^2}dx=\left[\,\int_{\mathbb R_-}\frac{x}{1+x^2}dx\right]+\left[\,\int_{\mathbb R_+}\frac{x}{1+x^2}dx\right] $$ si ambos corchetes existen por separado. De nuevo, esto no es cierto.

Lo que es correcto, y es el contenido de su declaración, es el hecho de que $$ \lim_{M\to+\infty}\int_{-M}^{+M}\frac{x}{1+x^2}dx=0 $$ como has demostrado. Esto se define comúnmente como el valor principal de Cauchy $\mathrm{PV}$ de la integral de otro modo singular: sumando $$ \mathrm{PV}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x}{1+x^2}dx=\lim_{M\to+\infty}\int_{-M}^{+M}\frac{x}{1+x^2}dx=0. $$

Answer 2

También podríamos haber declarado, aunque de forma menos simétrica, para cualquier $\lambda > 0$ que $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \,dx}{x^2 + 1} = \lim_{a \to \infty} \int_{-a}^{\lambda a} \frac{x \,dx}{x^2 + 1},$$ y evaluando este límite se obtiene $$\lim_{a \to \infty} \left.\frac{1}{2} \log (x^2 + 1)\right\vert_{-a}^{\lambda a} = \lim_{a \to \infty} \frac{1}{2} \log\left(\frac{\lambda^2 a^2 + 1}{a^2 + 1}\right) = \log \lambda .$$ En particular, al elegir $\lambda$ adecuadamente, ¡podemos hacer que el límite tome el valor real que queramos!

Para evitar categóricamente esta situación, solemos restringir nuestra atención a las integrales impropias para las que el valor no depende de la velocidad relativa con la que "agotamos" el integrando en las direcciones izquierda y derecha. Formalizamos esta situación mediante definir una integral de la forma $$\int_{-\infty}^{\infty} g(x) \,dx$$ para ser la suma $$\int_{-\infty}^a g(x) \,dx + \int_a^{\infty} g(x) \,dx ,$$ siempre que existan las dos integrales impropias constituyentes, de modo que sólo se trate de un límite a la vez. (Es sencillo comprobar que si este valor existe, es independiente de $a$ .)

Ahora, en algunas circunstancias, uno quiere asignar un valor a una integral $\int_{-\infty}^{\infty} g(x) \,dx$ para los que la definición anterior no da un valor, porque uno o ambos sumandos no convergen. En este caso, uno puede definir el Valor principal de Cauchy como límite de las integrales sobre intervalos simétricos respecto al origen, es decir, como $$PV \int_{-\infty}^{\infty} g(x) \,dx := \lim_{a \to \infty} \int_{-a}^a g(x) \,dx ,$$ y para impar $g$ este límite es siempre cero. Pero como muestra su ejemplo, esta noción no no en general coinciden con la noción habitual de integral impropia.

Answer 3

Porque $$\int \frac{x}{1 + x^2}dx = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + c$$ lo sabemos:

$$\int\limits_{- \infty}^{+ \infty} {\frac{xdx}{1 + x^2}} = \int\limits_{- \infty}^{0} {\frac{xdx}{1 + x^2}} + \int\limits_{0}^{+ \infty} {\frac{xdx}{1 + x^2}} = \lim\limits_{a \to -\infty}\int\limits_{a}^{0} {\frac{xdx}{1 + x^2}} + \lim\limits_{b \to +\infty}\int\limits_{0}^{b} {\frac{xdx}{1 + x^2}}$$

$$ = \lim\limits_{a \to -\infty}\frac{1}{2} \ln(1+x^2)\vert_{a}^{0} + \lim\limits_{b \to +\infty} \frac{1}{2} \ln(1+x^2)\vert_{0}^{b}$$

$$=\lim\limits_{a \to -\infty} -\frac{1}{2}\ln(1+a^2) + \lim\limits_{b \to +\infty} \frac{1}{2}\ln(1+b^2) $$

de lo que ciertamente no podemos concluir que es $0$ (forma indeterminada)

Tu error fue pensar que como la función es impar, la integral es cero, porque si $f$ es impar, entonces $\forall a \in \mathbb{R}$ (si no hay problemas de continuidad, etc.), $$\int\limits_{-a}^{a} f(x) dx= 0$$ Sin embargo, esto no funciona si las áreas son infinitas. Por la misma razón $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} xdx$$ diverge, mientras que la función es de hecho impar.