¿Qué es un grupo totalmente ordenado no abeliano?

Question

Como he oído la frase "grupo abeliano totalmente ordenado", imagino que debe haber grupos no abelianos. Con esto me refiero a un grupo con un pedido total (que no debe confundirse con una ordenación bien hecha) que es "invariante de bi-traducción": a < b debe implicar cad < cbd.

¿Alguien conoce algún ejemplo?

Totalmente ordenado abeliano Los grupos abelianos son fáciles de encontrar: cualquier producto directo de subgrupos de los reales, con el ordenamiento lexicográfico, servirá. Conocer algunos no abelianos ayudaría a revelar qué aspectos de los grupos abelianos totalmente ordenados dependen realmente de que sean abelianos...

Editar: A través de la respuesta de Andy Putman más abajo, he encontrado este gran resumen de resultados sobre grupos ordenados y bi-ordenados (es decir, grupos con ordenamientos invariantes de bi-translación) en el sitio de Dale Rolfsen:

Notas de clase sobre grupos ordenados y topología

Muestra numerosos ejemplos de grupos bi-ordenables no abelianos, incluyendo un bi-ordenamiento (ordenamiento invariante de bi-traducción) en el grupo libre con dos generadores. Además, menciona, debido a Rhemtulla, que un grupo ordenable por la izquierda es abeliano si todo ordenamiento por la izquierda es un bi-ordenamiento, lo que creo que pone de manifiesto la relación entre ordenamiento y abelianidad.

Answer 1

Este concepto suele denominarse biorderabilidad (también existe la ordenabilidad izquierda y derecha). Hay muchos ejemplos, como los grupos libres y los grupos de superficie. Lo más espectacular es que los grupos trenzados puros son biorderables, mientras que los grupos trenzados completos son ordenables por la izquierda pero no biorderables. La ordenabilidad por la izquierda de los grupos de trenzas suele atribuirse a Dehornoy, aunque fue descubierta incluso antes por Thurston (pero no se publicó).

Dale Rolfsen tiene varios buenos estudios de material relacionado con esto en su página web aquí . En particular, existe el texto completo de un bonito libro titulado "¿Por qué son ordenables las trenzas?" que escribió con Patrick Dehornoy, Ivan Dynnikov y Bert Wiest. Creo que se acaba de publicar una edición nueva y muy ampliada de este libro.

EDIT 1 : Acabo de encontrar el sitio web de la versión ampliada del libro de Rolfsen et al. aquí .

EDIT 2 : La construcción de Thurston de un ordenamiento a la izquierda en los grupos de trenzas (que, por supuesto, utiliza la geometría hiperbólica) es muy hermosa. Se explica muy bien en las primeras páginas del artículo "Orderings of mapping class groups after Thurston" de Short y Wiest, que está disponible en el arXiv aquí . Las secciones introductorias de este documento también contienen una breve pero esclarecedora exposición de la teoría general de los ordenamientos de grupos.

Además, no lo he leído, pero hay un libro titulado "Orderable Groups" de Rehmtulla y Mura. Sin embargo, es de 1977 y, por tanto, omitirá muchos trabajos recientes.

Answer 2

Lo siguiente debería ser un comentario, pero es demasiado largo, y contiene una respuesta de pasada. Escuché la siguiente historia de Andrew Glass. Saharon Shelah llegó a Vancouver, en un momento en que varios teóricos de grupos ordenados estaban allí, entre ellos Charles Holland y Alan Mekler. Se produjo la siguiente conversación (SS = Saharon Shelah; OGT = teóricos de grupos ordenados):

SS: ¿Tiene algún problema interesante?

OGT: Sí, ¿existe un orden lineal que sea el orden subyacente de un grupo ordenado pero no de ningún grupo abeliano ordenado?

SS (después de pensarlo un momento): ¿Existen grupos ordenados no abelianos?

OGT: Sí, se pueden pedir grupos libres.

SS: Oh; ¿cómo se hace eso?

OGT le muestra cómo ordenar linealmente los grupos libres.

SS (sin más tiempo para pensar): Oh. Entonces aquí está la respuesta a tu pregunta. ...

La respuesta de Shelah en ese momento utilizaba un principio teórico de conjuntos conocido por ser consistente pero independiente de ZFC (diamante, si no recuerdo mal), pero esa suposición se eliminó posteriormente en un trabajo conjunto. Véase "Lawless Order" de Holland, Mekler y Shelah [Order 5 (1985) pp. 383-397].

Answer 3

La construcción de Thurston de un orden izquierdo en grupos de trenzas utiliza la geometría hiperbólica, pero no tiene por qué hacerlo. Por el bien del argumento, dejemos que S sea una superficie cerrada y orientada de característica de Euler no positiva. La cubierta universal de S es homeomorfa al plano. Un bucle incrustado esencial en S se eleva a una línea debidamente incrustada en el plano. El grupo de clases de mapeo de S permuta el conjunto de clases de isotopía de bucles esenciales incrustados en S, y una cierta extensión de este grupo actúa sobre la cubierta universal, permutando el conjunto de líneas incrustadas que cubren curvas adecuadamente incrustadas en la superficie. Cualquier colección de rayos propiamente incrustados en el plano cuyas intersecciones por pares son compactas hereda un orden circular natural de la topología del plano; es este orden circular el que da lugar a órdenes circulares en (ciertas extensiones de) grupos de clases de mapeo, y a órdenes izquierdos en grupos de trenzas.

Answer 4

Lo que se quiere es definir un subconjunto positivo del grupo que satisfaga la tricotomía (cada elemento del grupo es positivo, negativo o la identidad), que esté cerrado bajo la ley del grupo y que sea invariante bajo la conjugación.

Creo que el grupo Heisenberg es un ejemplo. Es el grupo de matrices M = [[1,a,c],[0,1,b],[0,0,1]]. Es decir, matrices enteras. Entonces podemos decir que M es positiva si a > 0, o si a = 0 y b > 0, o si a = b = 0 y c > 0. ¿Creo que esto funciona?

Answer 5

No es realmente un ejemplo (ver la edición de abajo), pero de alguna manera relacionado con La de Greg Kuperberg : Dejemos que $\mathbb A = (A, +, \cdot, \preceq)$ sea un sembrador estrictamente ordenable (*) y para un número entero fijo $n \ge 1$ dejar $\mathcal M_n(A)$ denota el conjunto de todos los $n$ -por- $n$ matrices con entradas en $A$ dotado de las operaciones habituales de adición, digamos $+$ y la multiplicación fila por columna, por ejemplo $\cdot$ inducido por $\mathbb A$ . Entonces, $(\mathcal M_n(A), +, \cdot)$ es a su vez un semirremolque. Así que ahora, dejemos que ${\rm U}_n(\mathbb A^+)$ (respectivamente, ${\rm L}_n(\mathbb A^+)$ ) sea el subsemigrupo de $(\mathcal M_n(A), \cdot)$ que consiste en todas y cada una de las matrices triangulares superiores (respectivamente, inferiores) cuyas entradas en y por encima (respectivamente, por debajo) de la diagonal principal son positivas en $\mathbb A$ . Entonces, ambos $({\rm U}_n(\mathbb A^+), \cdot)$ y $({\rm L}_n(\mathbb A^+), \cdot)$ son semigrupos estrictamente ordenables.

Editar. Lo siento, he sólo se dio cuenta de que la pregunta se centraba en los grupos, ¡y no en los semigrupos/monoides! Pero entonces déjame aprovechar mi falta de atención para convertir lo anterior en una pregunta: ¿ $({\rm U}_n(\mathbb A^+), \cdot)$ y $({\rm L}_n(\mathbb A^+), \cdot)$ se incrustan en grupos estrictamente ordenados en el caso de que $(A, +, \cdot)$ es unital y conmutativo?

(*) Aquí, un semirremolque es simplemente un anillo (posiblemente no unital o no conmutativo) cuyo monoide aditivo no es necesariamente un grupo. Un sembrador estrictamente ordenado es entonces un $4$ -uple $(A, +, \cdot, \preceq)$ tal que $(A, +, \cdot)$ es un sembrado y $\preceq$ es un orden total en $A$ tal que

1. $(A, +, \preceq)$ es un magma estrictamente ordenado (de hecho, un monoide), a saber $x + z \prec y + z$ y $z + x \prec z + y$ para todos $x,y,z \in A$ con $x \prec y$ .
2. $x \cdot z \prec y \cdot z$ y $z \cdot x \prec z \cdot y$ para todos $x,y,z \in A$ con $x \prec y$ y $0 \prec z$ , donde $0$ representa la identidad del monoide $(A,+)$ .