Topología en un espacio a partir de topologías en subespacios

Question

Tengo una pregunta acerca de la construcción de una topología en un espacio de $X$ a partir de topologías definidas en una familia de subespacios $(X_i)_{i\in I}$$X$.

Suponga que $X$ es un conjunto y $(X_i)_{i\in I}$ es una colección de subconjuntos de a $X$. Suponga también que por cada $i\in I$, no es una topología $\mathcal{T}_i$ definido en $X_i$. Decimos que una topología $\mathcal{T}$ $X$ es consistente con la familia $(X_i,\mathcal{T}_i)_{i\in I}$ si la topología inducida por $\mathcal{T}$ $X_i$ es exactamente $\mathcal{T}_i$ por cada $i\in I$. Consistente topologías pueden existir o no. Y si existen, puede ser que exista una única constante de la topología, o puede haber más de uno. Es fácil comprobar los siguientes hechos:

• Si es consistente topologías existen, a continuación, los mejores consistente topología está dado por $$\mathcal{T}=\{U\subset X:\; U\cap X_i\in\mathcal{T}_i,\;\forall i\in I\}.$$
• Una condición necesaria para la existencia de la constante topologías es el pares de compatibilidad de las topologías $(\mathcal{T}_i)_{i\in I}$, es decir, debe ser el caso de que cada $i,j\in I$, la topología inducida por $\mathcal{T}_i$ $X_i\cap X_j$ debe ser la misma que la topología inducida por $\mathcal{T}_j$$X_i\cap X_j$.

La condición anterior se convierte suficiente si los espacios de $(X_i)_{i\in I}$ es un aumento de la secuencia, es decir, si $I=\mathbb{N}$ $X_n\subset X_{n+1}$ por cada $n\in\mathbb{N}$. Es la anterior condición necesaria y suficiente en general para la colección arbitraria de los subespacios? si no, hay un conocido condición necesaria y suficiente para la existencia de la constante topologías?

Hay una condición necesaria y suficiente para la singularidad de la constante de topología (en caso de que exista)?

Este problema ha sido estudiado? Si sí, ¿alguien puede darme una buena referencia?

Answer 1

No es una respuesta completa, pero algunos de los pasos a lo largo del camino y demasiado largo para un comentario:

Considere la posibilidad de la colección de conjuntos que ya se ha identificado como uno de los mejores inducida por topología: $$\mathcal T=\{U\subset X:\; U\cap X_i\in\mathcal T_i,\;\forall i\in I\}$$

Es bastante directa para demostrar que, independientemente de la forma de los subespacios $X_i$ son elegidos, $\mathcal T$ es una topología en $X$. Si el $X_i$ cubierta $X$ y son severamente en conflicto el uno con el otro, entonces puede ser que $\mathcal T$ es la topología trivial, pero todavía es una topología. Y como usted ha señalado, si no es coherente topología, entonces esta topología será consistente.

Así que la pregunta se reduce a lo siguiente: cuando se esta topología particular consistente? Es la condición de $\mathcal T_i \mid_{X_i\cap X_j} = \mathcal T_j \mid_{X_i\cap X_j}$ todos los $i,j$ suficiente?