caracterización de módulos proyectivos/inyectivos/planos mediante $\operatorname{Hom}$ y $\otimes$

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo unital conmutativo y $M$ un $R$ -módulo. Entonces $M$ es proyectiva si $\operatorname{Hom}(M,-)$ es exacta e inyectiva si $\operatorname{Hom}(-,M)$ es exacta, y plana si $M\otimes-$ es exacta. Además, $M$ es fielmente plana cuando todo complejo de cadena es exacto si el $M\otimes-$ complejo de la cadena es exacta.

Pregunta 1: Cuáles son los módulos con la propiedad:

• todo complejo de cadena es exacto si el inducido $\operatorname{Hom}(-,M)$ complejo de cadenas es exacto;
• todo complejo de cadena es exacto si el inducido $\operatorname{Hom}(M,-)$ complejo de la cadena es exacta.

¿Existe una noción fielmente proyectiva/injetiva, y coincide con la proyectiva/injetiva?

Pregunta 2: ¿Por qué es $M$ fielmente plana precisamente cuando $(\ast)$ cada mapa $A\to B$ es inyectiva si $A\!\otimes\!M\to B\!\otimes\!M$ es inyectiva? Sé que $-\!\otimes\!M$ es exacta a la derecha, por lo que preserva los epimorfismos, pero si suponemos $(\ast)$ ¿Cómo es que $A\!\otimes\!M\to B\!\otimes\!M$ implica la suposición de que $A\to B$ ¿subjetivo?

Answer 1

En cuanto a la pregunta 2, considere el cokernel $C$ de $A \to B$ . Si $A\otimes M \to B\otimes M$ es sobreyectiva, se comprobará fácilmente que $C \otimes M = 0$ , y luego deducir que $C = 0$ .

Answer 2

1. Observe que $0$ es un módulo con la propiedad de que $\mathrm{Hom}(0, -)$ es exacta pero no fielmente exacta. Afirmo que un módulo $M$ tiene la propiedad de que $\mathrm{Hom}(M, -)$ es exacta si y sólo si $M$ es un generador fuerte que es proyectivo. En efecto, $M$ es un generador fuerte precisamente si $\mathrm{Hom}(M, -)$ es (fiel y) conservador, y $M$ es proyectiva precisamente si $\mathrm{Hom}(M, -)$ es exacto; pero por tonterías abstractas, un functor es fielmente exacto si y sólo si es conservador y exacto.

   Por otra parte, un módulo $M$ tiene la propiedad de que $\mathrm{Hom}(-, M)$ es fielmente exacta si y sólo si $M$ es un cogenerador fuerte que es inyectivo.

2. Supongamos que $M$ tiene la propiedad de que ${-} \otimes M$ preserva y refleja monomorfismos. Entonces ${-} \otimes M$ conserva los granos y refleja la propiedad de ser $0$ . Tomando los cokernels, deducimos que ${-} \otimes M$ refleja los epimorfismos. Por lo tanto, ${-} \otimes M$ refleja los isomorfismos, es decir, es conservador, por lo tanto, por tonterías abstractas, ${-} \otimes M$ es fielmente exacta.