Encontrar una solución no constante para $(x')^2+x^2=9$

Question

¿Cómo puedo encontrar una solución no constante a esta ecuación? He tratado de resolver para $x$ pero la respuesta final debe ser en forma de $x(t)=...$

$(x')^2+x^2=9$

No sé por dónde empezar.

Answer 1

Qué tal esto: fíjate que $(x')^2 + x^2 = 9$ es un círculo en $x$ - $x'$ espacio, un círculo de radio $3$ . Entonces el punto $(\frac{x}{3}, \frac{x'}{3})$ se encuentra en el círculo unitario. Esto significa que habrá alguna función de $t$ , $\theta(t)$ , de tal manera que $x(t) = 3\cos \theta (t)$ y $x'(t) = 3\sin \theta (t)$ . Sobre la base de esta información, y suponiendo que $\theta(t)$ es diferenciable (lo que se puede demostrar mediante el teorema de la función implícita), tenemos $x'(t) = -3\theta'(t) \sin \theta (t)$ por lo que deducimos que $\theta'(t) = -1$ , lo que lleva a $\theta(t) = c - t$ para alguna constante $c$ . Así que $x(t) = 3\cos(c - t)$ .

Espero que esto ayude. ¡Salud!

Answer 2

Fuerza bruta: $$\begin{align}(x'(t))^2+(x(t))^2= 9&\implies x'(t)=\pm \sqrt{9-(x(t))^2}\\ &\implies \dfrac{x'(t)}{\sqrt{9-(x(t))^2}}=\pm 1\\ &\implies \dfrac{1}{3}\dfrac{x'(t)}{\sqrt{1-\left(\frac{x(t)}{3}\right)^2}}=\pm 1 \end{align}$$

Ahora usa $\arcsin'(s)=\frac{1}{\large \sqrt{1-s^2}}$ .

Answer 3

Sugerencia: intente diferenciar su ecuación con respecto a $t$ - y utilizar $x'\neq 0$

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Usted tiene $(x')^2+x^2=9$

Diferenciar con respecto a $t$ para obtener $$2x'x''+2xx'=0$$

Dividir por $2x'$ para conseguir $$x''+x=0$$

Esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden, que debería tener una solución conocida. A continuación, tienes que volver a poner la solución general en la ecuación original para encontrar una solución que funcione para eso.

Answer 4

Una pista: $$2x'(x''+x)=0.$$