Demostrar

Question

Demostrar que:

$$\cos^3{A} + \cos^3{(120°+A)} + \cos^3{(240°+A)}=\frac {3}{4} \cos{3A}$$

Mi enfoque:

$$\mathrm{R.H.S.}=\frac {3}{4} \cos{3A}$$ $$=\frac {3}{4} (4 \cos^3{A}-3\cos{A})$$ $$=\frac {12\cos^3{A} - 9\cos{A}}{4}$$

Ahora, por favor me ayudan a continuar desde aquí.

Answer 1

También existe otra forma algebraica más. Usted puede mostrar fácilmente (por expansión) eso si $$a+b+c=0$$ then $%$ $a^3+b^3+c^3=3abc$ya que, en su problema, para cada $A$ $$\cos{A}+\cos{(A+2\pi/3)}+\cos{(A-2\pi/3)}=0$ $Then puede utilizar la identidad anterior$$ \cos^3{A}+\cos^3{(A+2\pi/3)}+\cos^3{(A-2\pi/3)}=3\cos{A}\cos{(A+2\pi/3)}\cos{(A-2\pi/3)}utilizando el % de identidad mencionados $$\cos{x}\cos{y}=\frac{1}{2}\left(\cos{(x+y)}+\cos{(x-y)}\right)$usted puede simplificar la RHS a esta % $$$ \frac{3}{2}\cos{A}\left(\cos{(2A)}-\frac{1}{2}\right) $$y entonces (usando otra vez)$$ \frac{3}{4}\left(\cos{3A}+\cos{(A)}\right)-\frac{3}{4}\cos{A}=\frac{3}{4}\cos{(3A)}

Answer 2

Puede utilizar esta particular fórmula: % $\cos{x}\cos{y}=\frac{1}{2}\left(\cos(x+y)+\cos(x-y)\right)$dos veces y simplificar $\cos^3{A}$, $\cos^3{(A+2\pi/3)}$ y $\cos^3{(A-2\pi/3)}$ de esta manera: $$\begin{aligned} \cos^3{A}&=\cos{A}\left(\cos{A}\cos{A}\right) \\ &=\frac{1}{2}\cos{A}\left(1+\cos{2A} \right) \\ &=\frac{1}{2}\cos{A}+\frac{1}{2}\cos{A}\cos{2A}\\ &=\frac{1}{2}\cos{A}+\frac{1}{4}\left(\cos{A}+\cos{3A}\right)\\ &=\frac{1}{2}\cos{A}+\frac{1}{4}\cos{A}+\frac{1}{4}\cos{3A}\\ \end{alineado}$$

Y

$$\begin{aligned} \cos^3{(A+2\pi/3)}&=\frac{1}{2}\cos{(A+2\pi/3)}\left(1+\cos{(2A+4\pi/3)} \right) \\ &=\frac{1}{2}\cos{(A+2\pi/3)}\left(1-\cos{(2A+\pi/3)} \right) \\ &=\frac{1}{2}\cos{(A+2\pi/3)}-\frac{1}{2}\cos{(A+2\pi/3)}\cos{(2A+\pi/3)}\\ &=\frac{1}{2}\cos{(A+2\pi/3)}-\frac{1}{4}\left(\cos{(A-\pi/3)}-\cos{3A}\right)\\ &=\frac{1}{2}\cos{(A+2\pi/3)}-\frac{1}{4}\cos{(A-\pi/3)}+\frac{1}{4}\cos{3A} \end{alineados}$$

Y

$$\begin{aligned} \cos^3{(A-2\pi/3)}&=\frac{1}{2}\cos{(A-2\pi/3)}\left(1+\cos{(2A-4\pi/3)} \right) \\ &=\frac{1}{2}\cos{(A-2\pi/3)}\left(1-\cos{(2A-\pi/3)} \right) \\ &=\frac{1}{2}\cos{(A-2\pi/3)}-\frac{1}{2}\cos{(A-2\pi/3)}\cos{(2A-\pi/3)}\\ &=\frac{1}{2}\cos{(A-2\pi/3)}-\frac{1}{4}\left(\cos{(A+\pi/3)}-\cos{3A}\right)\\ &=\frac{1}{2}\cos{(A-2\pi/3)}-\frac{1}{4}\cos{(A+\pi/3)}+\frac{1}{4}\cos{3A} \end{alineados}$$

Ahora, agregando los resultados y usando las identidades siguientes puede obtener su respuesta (el segundo de ellos puede demostrarse utilizando la primera identidad en orden inverso). $$\cos{A}+\cos{(A+2\pi/3)}+\cos{(A-2\pi/3)}=0$$ $$\cos{(A-\pi/3)}+\cos{(A+\pi/3)}=\cos{A}$$

Answer 3

Considere la siguiente imagen. Vemos que el triángulo con vértices $(\cos A, \sin A), (\cos(A+120^\circ), \sin(A+120^\circ)), (\cos(A+240^\circ), \sin(A+240^\circ))$ son los vértices de un triángulo equilátero con centriod en el origen.

Por lo tanto si ponemos $a = \cos A, b = \cos(A+120^\circ), c = \cos(A+240^\circ)$, entonces $$\begin{align*} a+b+c = 0 \end{align*}$$ y por lo tanto $$\begin{align*} a^3+b^3+c^3 = 3abc \end{align*}$$ y $$\begin{align*} \cos^3{A} + \cos^3{(120°+A)} + \cos^3{(240°+A)} &= 3\cos A \cos(A+120^\circ)\cos(A+240^\circ) \\ &= \frac{3}{2}(2\cos A \cos(A+120^\circ))\cos(A+240^\circ) \\ &= \frac{3}{2}[\cos(2A+120^\circ)+\cos(120^\circ)]\cos(A+240^\circ)\\ &=\frac{3}{2}\cos(2A+120^\circ)\cos(A+240^\circ)-\frac{3}{4}\cos(A+240^\circ)\\ &=\frac{3}{4}\cos(3A+360^\circ)+\frac{3}{4}\cos(A-120^\circ) -\frac{3}{4}\cos(A+240^\circ)\\ &=\frac{3}{4}\cos(3A) \end{align*}$$ desde $\cos(A+240^\circ) = \cos(360^\circ - (A+240^\circ)) = \cos(120^\circ -A) = \cos(A-120^\circ)$

Answer 4

Para el lado izquierdo, utilice $\cos(120^\circ +A)=\cos 120^\circ \cos A - \sin 120^\circ \sin A$

y $\cos(240^\circ+A)=\cos 240^\circ \cos A - \sin 240^\circ \sin A$

Entonces $\cos^3(120^\circ+A)=\left(\cos 120^\circ \cos A - \sin 120^\circ \sin A \right)^3$

y $\cos^3(240^\circ+A)=\left( \cos 240^\circ \cos A - \sin 240^\circ \sin A \right)^3$

Pop en los valores de $\cos 120^\circ$, $\sin 120^\circ$, etcetera antes de ampliar los soportes.

$\cos^3(120^\circ+A)=\left(-1/2 \cos A -\sqrt 3/2 \sin A \right)^3=-\frac 18 \left(\cos A +\sqrt 3 \sin A \right)^3$

y $\cos^3(240^\circ+A)=-\frac 18\left( \cos A - \sqrt3\sin A \right)^3$

Answer 5

uso que $$\cos(120^{\circ}+x)=-1/2\,\cos \left( x \right) -1/2\,\sqrt {3}\sin \left( x \right) $ $ y$$ \cos(240^{\circ}+x)=-1/2\,\cos \left( x \right) +1/2\,\sqrt {3}\sin \left( x \right)