Computación

Question

El problema es el siguiente:

Deje $I=\langle x^2,y\rangle\subset R=\mathbb{Q}[x,y]$. Calcular $\operatorname{Tor}_n^R(I,R/I)$ todos los $n\geq 0$.

Pensamientos:

Por lo general, cuando veo a estos tipos de problemas, considero que un SES de la forma(s):

$0\rightarrow I\rightarrow R\rightarrow R/I\rightarrow 0$ o

$0\rightarrow R\rightarrow R\rightarrow R/I\rightarrow 0$ donde el primer mapa en el último SES sería la multiplicación por un factor adecuado.

El primer SES no parece prometedor en nuestro caso, ya que se reduce al cálculo de $\operatorname{Tor}_n^R(I,I)$, lo que no veo ningún inmediata maneras de hacer.

El uso de la segunda SES yo estaba pensando en dejar a $f:R\rightarrow R$ ser tal que $x\rightarrow x^2$$y\rightarrow y$.

No estoy seguro de si esto iba a funcionar?

Answer 1

Lo primero de todo podemos ver que $I$ está dada por elementos regulares. Por lo tanto, no existe un Koszul-resolución de $R/I$ dada por

$$A^{\bullet}=0\rightarrow R\rightarrow R^2\rightarrow R\rightarrow 0,$$

donde el primer no-trivial mapa es $1\rightarrow (x^2,-y)$, y el segundo es $(a,b)\rightarrow ay+bx^2$.

Tomar ahora $I\otimes A^{\bullet}=I\rightarrow I^2\rightarrow I$. Usted ve que hay tres posibles distinto de cero $\operatorname{Tor}$s.

Usted sabe lo $\operatorname{Tor}_0^R(I,R/I)$ es.

Veamos $\operatorname{Tor}_1^R(I,R/I)$. El núcleo de $I^2\rightarrow I$ puede ser calculada por mirar a $(a,b)\rightarrow ay+bx^2$. En fin de esto es que necesitamos que $a=x^2c$$b=-yc$. De modo que el núcleo es isomorfo a $R$. La imagen de $I\rightarrow I^2$ $I$ $R$ (nos identifiy ahora el kernel con $R$), por lo $\operatorname{Tor}_1^R(I,R/I)=R/I$.

Finalmente, el mapa de $I\rightarrow I^2$ es inyectiva, por lo tanto,$\operatorname{Tor}_2^R(I,R/I)=0$.