¿Si es soluble $G$ y $G/[G,G]$ es cíclico, se puede generar $G\times G$ por 2 elementos?

Question

Dudo que esto sea cierto, pero no he encontrado ninguna pequeño contraejemplos (no hay contraejemplos con $|G| < 1536, |G| \neq 768$):

Supongamos $G$ es finito, solucionable, 2-generado, y $G/[G,G]$ es cíclico. Debe $G\times G$ 2-genera?

Hall y Gaschütz tener la documentación pertinente ("euleriano funciones" es, probablemente, en el título) que no he tenido tiempo de revisar.

Esto es motivado por Un grupo generado por dos elementos tales que su producto en sí no es generado por dos elementos. Si $G/[G,G]$ requiere $k$ generadores, a continuación, $G$ requiere al menos $k$ generadores y $G \times G$$2k$. En particular, si $G/[G,G]$ no es cíclica y, a continuación, $G \times G$ no es, obviamente, 2-genera, por lo que estamos interesados principalmente en la $G$ $G/[G,G]$ cíclico. Dado que los grupos con $G=[G,G]$ 2-generado, sino $G\times G$ no 2-generados son abundantes, pero difícil de entender, restringimos a la solución de los grupos.

Answer 1

Esto no es una respuesta completa, pero estoy empezando a pensar que la respuesta podría ser sí, $G \times G$ $2$generados. (Agrega más adelante: creo que es ahora una respuesta completa, y que la respuesta es, de hecho, sí.)

Puedo probarlo bajo las siguientes hipótesis:

Existen $a \in G$, $b \in G'$ con $\langle a,b \rangle = G$.

Suponiendo que es cierto, vamos a $G_1$ $G_2$ ser copias de $G$ con los correspondientes generadores $a_1,b_1,a_2,b_2$, y deje $H = \langle a_1b_2,a_2b_1 \rangle \le G_1 \times G_2$. Entonces yo reclamo que $H=G_1 \times G_2$.

Claramente $H$ proyectos en directo factores, por lo $H$ es un subdirect producto de $G_1 \times G_2$. Por lo tanto, si $N_i = H \cap G_i$$i=1,2$, $N_i \unlhd G_i$ $H/(N_1 \times N_2)$ es una diagonal subgrupo de $G/(N_1 \times N_2)$.

También, desde la $b_i \in G_i'$, debemos tener $G_i =\langle a_i, G_i' \rangle$, y por lo $H$ de los proyectos en el factor grupo $G_1/G_1' \times G_2/G_2'$, y por lo tanto también a $G_1/N_1G_1' \times G_2/N_2G_2'$. Pero si $N_i \ne G_i$ a continuación, desde la $G/N_i$ es solucionable, $G_i \ne N_iG_i'$, y entonces no es posible que una diagonal subgrupo de $G/(N_1 \times N_2)$ a de proyecto en la totalidad del producto directo $G_1/N_1G_1' \times G_2/N_2G_2'$, por lo que debemos tener $H=G_1 \times G_2$.

Así es el extra supuesto siempre satisfecho? La respuesta es, sin duda, sí si $G/G'$ tiene la primera energía de la orden o es pequeño. Desde siempre podemos sustituir el geenrator $a$ $ab^i$ cualquier $i \in {\mathbb Z}$, estaría satisfecho si la respuesta a la siguiente pregunta es sí:

Si $a$ $b$ generar la cíclico finito grupo $G$, entonces el no $G$ tienen necesariamente un único generador de la forma $ab^i$ o $a^ib$ algunos $i \in {\mathbb Z}$?

Añadido posterior: yo creo que si el grupo cíclico $C_n$ orden $n$ es generado por $a$$b$, entonces es generado por un solo elemento $ab^i$ algunos $i \in {\mathbb Z}$, lo que completa la prueba de que la respuesta a la pregunta es sí.

Deje $n = q_1q_2 \cdots q_r$, donde el $q_i$ son atribuciones de los distintos números primos. A continuación, hay un isomorfismo $C_n \to C_{q_1} \times \cdots \times C_{q_r}$. Denotar las imágenes de $a$ $b$ bajo este isomorfismo ser$(a_1,\ldots,a_r)$$(b_1,\ldots,b_r)$. La condición de que $C_n = \langle a,b \rangle$ es equivalente a la condición de que, para cada una de las $i$, al menos uno de $a_i$ $b_i$ genera $C_{q_i}$.

Elegir la numeración tal que $a_i$ $b_i$ generen $C_{q_i}$ si y sólo si $1 \le i \le k$, y deje $m = q_1q_2 \cdots q_k$ (donde $m=1$ si $k=0$). Entonces, para $i > k$, $b_i$ genera $C_{q_i}$ si y sólo si $b_i^m$ ¿ y entonces, por cada $i$$1 \le i \le r$, exactamente uno de $a_i$ $b_i^m$ genera $C_{q_i}$. Por lo $a_ib_i^m$ genera $C_{q_i}$ por cada $i$, y, por tanto, $ab^m$ genera $C_n$.